【零基础学智能仿真-30】二维有限元的形函数与数值积分：从三角形到四边形

课程摘要上一节用一维杆说明了弱形式如何产生单元方程。本节走进二维：先用三节点三角形单元推导形函数、雅可比矩阵和应变矩阵，再用一个线性位移场检验计算结果；随后以四节点矩形单元比较单点积分与 \(2\times2\) 高斯积分。通过两个可核对的小实验，理解“怎样描述单元内的场”和“怎样算准单元上的积分”是有限元精度的两个不同问题。一、上一节的公式，到了二维会怎样？上一节的一维杆单元刚度可以写成：\[ \boldsymbol K_e = \int_{\Omega_e} \boldsymbol B^{\mathsf T}\boldsymbol D\boldsymbol B \,\mathrm d\Omega. \]当时，形函数负责描述单元内的位移，\(\boldsymbol B\) 负责把位移转换为应变；因为杆的参数和 \(\boldsymbol B\) 都是常数，积分很容易完成。到了二维，思路没有变，但多了两个问题：单元内某一点的位移，怎样由周围节点的位移得到？——这是形函数的工作。三角形或四边形上的积分，怎样计算？——这需要坐标映射和数值积分。