[线性代数]正定矩阵

题型已知正定矩阵求参数取值范围。步骤1写出$A kE$的矩阵已知$A \begin{bmatrix} 0 1 1 \\ 1 2 1 \\ 1 1 0 \end{bmatrix}$单位矩阵$E \begin{bmatrix} 1 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 1 \end{bmatrix}$$Hence$$A kE \begin{bmatrix} k 1 1 \\ 1 2k 1 \\ 1 1 k \end{bmatrix}$步骤2正定矩阵的判定条件实对称矩阵正定的充要条件是所有顺序主子式都大于$0$1. 一阶顺序主子式$$\Delta_1 k 0$$2. 二阶顺序主子式$$\Delta_2 \begin{vmatrix} k 1 \\ 1 2k \end{vmatrix} k(2k) - 1 k^2 2k - 1 0$$解不等式$k^2 2k - 1 0$得$k -1-\sqrt{2} \quad \text{或} \quad k -1\sqrt{2}$结合$\Delta_1 0k0$此时只需满足$k -1\sqrt{2}$。3. 三阶顺序主子式$$\Delta_3 \begin{vmatrix} k 1 1 \\ 1 2k 1 \\ 1 1 k \end{vmatrix}$$计算行列式\begin{equation}\Delta_3 k\left[(2k)k - 1\right] - 1\left[k -1\right] 1\left[1 - (2k)\right] k(k^22k-1) - (k-1) (-k-1) k^3 2k^2 - k - k 1 - k - 1 k^3 2k^2 - 3k k(k^22k-3) k(k3)(k-1)\end{equation}\begin{align}\Delta_3 k\left[(2k)k - 1\right] - 1\left[k -1\right] 1\left[1 - (2k)\right] \\ k(k^22k-1) - (k-1) (-k-1) \\ k^3 2k^2 - k - k 1 - k - 1 \\ k^3 2k^2 - 3k \\ k(k^22k-3) \\ k(k3)(k-1)\end{align}要求$\Delta_3 0$结合$k0$得$(k3)(k-1) 0$即$k 1$$k -3$舍去。步骤3综合条件\begin{cases}\Delta_1 0k0\\\Delta_2 0k -1\sqrt{2} \approx 0.414\\\Delta_3 0k1\end{cases}取交集得$\boldsymbol{k 1}$另一种方法特征值法因为$A kE$的特征值$ A$的特征值$ k$正定要求所有特征值$0$即$k -\lambda_i\lambda_i$为A的特征值$$。求A的特征值$$|\lambda E - A| \begin{vmatrix} \lambda -1 -1 \\ -1 \lambda-2 -1 \\ -1 -1 \lambda \end{vmatrix} \lambda(\lambda-2)\lambda 2 - (\lambda-2) - \lambda \lambda(\lambda1)(\lambda-3)$$得A的特征值为\begin{cases}\lambda_1 -1 \\\lambda_2 0 \\\lambda_3 3\end{cases}因此$A kE$的特征值为$k-1kk3$要求都大于$0$\begin{cases}k-1 0 \\k 0 \\k3 0\end{cases}解得$\boldsymbol{k 1}$和顺序主子式法结果一致.最终答案$\boldsymbol{k 1}$或填$k$的取值范围为$(1,\infty)$