1. 为什么“刷习题”才是线性代数的真正入口很多人第一次接触线性代数都是从矩阵、行列式、向量空间这些名词开始的。课堂上老师讲得飞快课本上的定义一条接一条等到真正做题的时候才发现自己连题目在问什么都没搞明白。这个现象太普遍了我自己当年也是这样过来的。后来我慢慢意识到一个问题线性代数这门课光看是看不懂的必须动手做。而“MIT 线性代数习题”这个关键词背后其实指向的是一整套被无数学习者验证过的练习体系——它对应着一门经典公开课的配套习题资源题目设计从基础计算到理论证明层层递进覆盖了向量、矩阵、线性方程组、特征值、正交性、行列式等全部核心模块。这套习题到底能做什么简单说它能帮你把“看懂”变成“会做”。每一道题都在逼你调用定义、推导关系、验证结论而不是被动地接受信息。它适合谁适合正在学线性代数的大学生、准备考研的理工科考生、想补数学基础的转行者以及任何需要用到矩阵运算的从业者——比如做数据分析的、搞机器学习的、写图形程序的。你不需要天赋异禀只需要愿意拿起笔一道一道地啃。我写这篇东西不是要给你一份标准答案而是想把我自己刷这套习题时踩过的坑、总结的方法、以及那些“原来如此”的瞬间完整地分享出来。如果你正对着某道题发呆或者刷了几十道题还是觉得脑子一团浆糊那接下来的内容应该能帮到你。2. 习题体系的全貌与刷题前的认知准备2.1 这套习题到底包含什么MIT 线性代数习题并不是一本装订好的纸质练习册而是一套分散在课程各章节后面的问题集。它的结构跟课程进度严格对应通常每一讲后面都配有一组题目数量从几道到十几道不等。从内容上看大致可以分成几个层次基础计算题矩阵乘法、高斯消元、求逆、算行列式、求特征值。这类题目占比较大目的是让你对运算流程形成肌肉记忆。概念辨析题判断某个命题的真假或者从几个选项中选出正确的表述。这类题最容易被忽视但恰恰是检验你是否真正理解定义的关键。证明题要求你从定义出发推导某个性质或定理。比如证明矩阵可逆的等价条件、证明特征向量线性无关等。应用题把线性代数工具用到具体场景中比如最小二乘拟合、图论中的邻接矩阵、微分方程组的矩阵形式。这四类题目的难度是递增的但并不是严格按顺序出现。有时候一道基础计算题里会埋一个概念陷阱有时候一道证明题反而只需要套定义就能完成。我的建议是不要跳着做但也不要死磕。每道题给自己设定一个时间上限比如十五分钟超过就先标记回头再看。2.2 刷题之前必须想清楚的三个问题很多人一上来就翻开习题开始做做了几道发现寸步难行然后就开始怀疑自己是不是不适合学数学。问题往往不出在智力上而出在准备上。在动手之前你需要先确认三件事第一你的工具是否齐全。线性代数的习题离不开纸笔但光有纸笔不够。你需要一份清晰的公式表把矩阵运算规则、行列式性质、特征值定义、正交投影公式都列在一起。你还需要一个能帮你验证计算结果的工具——可以是一个简单的计算脚本也可以是手算之后用另一种方法交叉验证。我个人的习惯是手算一遍然后用 Python 的 NumPy 库跑一遍对比结果。如果不一样就回头找哪一步出了问题。第二你的定义是否清晰。线性代数里很多错误都源于对定义的模糊理解。比如“线性无关”到底是什么意思“秩”的几何意义是什么“特征向量”为什么要求非零这些问题如果答不上来做题就是碰运气。我的做法是每做一道题之前先把涉及的定义在草稿纸上默写一遍。写不出来就回去翻书翻完再写直到能准确复述为止。第三你的心态是否摆正。刷习题不是考试做错了不丢人。相反做错才是常态做对才是意外。我见过太多人因为一道题卡了半小时就放弃整本习题这太可惜了。你要把每一道错题当成一次诊断它告诉你哪个知识点还有漏洞哪个方法还没掌握。把错题记录下来过几天再做一遍直到能独立完成。2.3 一个容易被忽略的准备工作建立符号直觉线性代数里充满了符号A、x、b、λ、Σ、det、rank、null space……初学者很容易被这些符号吓住觉得它们抽象得无法理解。但其实每一个符号背后都有具体的几何或代数含义。比如矩阵 A 可以看作一个线性变换它把向量 x 映射成另一个向量 b。行列式 det(A) 衡量的是这个变换对空间的“缩放倍数”。特征值 λ 表示变换在某个方向上的伸缩比例。秩 rank(A) 告诉你变换后的空间维度是多少。如果你能在脑子里把这些符号和它们的几何意义对应起来做题的时候就不会觉得是在摆弄一堆没有生命的数字。我自己的经验是每遇到一个新符号就画一张图。比如学特征值的时候画一个向量被矩阵作用后方向不变、长度伸缩的示意图。画多了符号就活了。3. 核心题型的拆解与实操方法3.1 线性方程组从消元到解的结构线性方程组是整门课的起点也是习题里出现频率最高的题型。一道典型的题目会给你一个矩阵方程 Ax b要求你判断解的存在性、唯一性或者求出通解。操作流程是这样的写出增广矩阵 [A | b]。用高斯消元法把 A 化成行阶梯形。判断秩的关系如果 rank(A) rank([A|b])无解如果 rank(A) rank([A|b]) n未知数个数有唯一解如果 rank(A) rank([A|b]) n有无穷多解。对于无穷多解的情况找出主元列和自由变量写出通解。这个过程看起来机械但里面有几个坑。第一个坑是消元过程中容易算错符号尤其是遇到分数的时候。我的应对方法是尽量用整数运算遇到分数先通分或者干脆用分数形式保留最后再化简。第二个坑是自由变量的选取。自由变量不是随便选的它对应的是非主元列。你得先确定哪些列是主元列剩下的才是自由变量。注意在写通解的时候一定要把特解和零空间解分开写。特解是 Ax b 的一个具体解零空间解是 Ax 0 的通解。两者相加才是 Ax b 的通解。我当年做这类题的时候经常忘记验证。后来养成了一个习惯求出通解之后随便代一个自由变量的值进去算出一个具体的 x然后代回原方程看是否满足。这个验证步骤花不了多少时间但能帮你抓住大部分计算错误。3.2 矩阵运算乘法、逆、转置的联合运用矩阵运算题看起来简单但组合起来就容易出错。比如给你三个矩阵 A、B、C让你求 (AB)^T C^{-1} 或者类似的表达式。这类题考察的是你对运算规则的熟练程度。关键规则要记牢(AB)^T B^T A^T顺序要反过来。(AB)^{-1} B^{-1} A^{-1}同样要反过来。(A^T)^{-1} (A^{-1})^T这个顺序无所谓。矩阵乘法不满足交换律AB ≠ BA。这些规则单独看都懂但混在一起就容易搞混。我的方法是把每个规则编成一个简单的口诀比如“转置逆反着来”。做题的时候先一步一步写清楚每一步用了哪条规则不要跳步。跳步是错误的主要来源。还有一个常见的陷阱题目会给你一个矩阵让你判断它是否可逆。很多人第一反应是算行列式但有时候行列式很难算。这时候可以观察矩阵的行或列是否线性相关。如果存在一行是另一行的倍数或者某一列全为零那矩阵肯定不可逆。这种观察法比硬算行列式快得多。3.3 特征值与特征向量从定义到对角化特征值问题是线性代数里最核心也最容易让人困惑的部分。一道典型的题目会给你一个 3×3 矩阵让你求所有特征值和对应的特征向量然后判断能否对角化。标准步骤写出特征方程 det(A - λI) 0。解这个多项式方程得到所有特征值。对每个特征值 λ解方程组 (A - λI)x 0得到对应的特征向量。检查每个特征值的代数重数和几何重数是否相等。如果相等矩阵可对角化否则不可对角化。这里最大的难点是特征方程的求解。对于 2×2 矩阵特征方程是一个二次方程用求根公式就行。对于 3×3 矩阵特征方程是一个三次方程有时候需要试根。我的经验是先试 λ 0, 1, -1, 2, -2 这些简单的整数。如果矩阵的元素都是整数特征值往往也是整数或者简单的分数。试出一个根之后用多项式除法降次再解剩下的二次方程。提示在求特征向量的时候不要忘记特征向量必须是非零向量。有时候解出来的方程组只有一个自由变量那特征向量就是这个自由变量对应的基向量。如果有两个自由变量那特征空间就是二维的需要找两个线性无关的特征向量。对角化的问题关键在于判断几何重数是否等于代数重数。代数重数是特征值在特征方程中作为根的重数几何重数是特征空间的维度也就是 n - rank(A - λI)。如果对某个特征值几何重数小于代数重数矩阵就不可对角化。这个判断在习题里经常出现一定要练熟。3.4 正交性与投影几何直觉的试金石正交性这部分题目往往跟投影、最小二乘、Gram-Schmidt 正交化有关。这类题的特点是计算量大但几何意义清晰。如果你能画出图来就不容易出错。投影的核心公式向量 b 在向量 a 上的投影是 proj_a b (a^T b / a^T a) a。向量 b 在子空间 W 上的投影是 proj_W b A(A^T A)^{-1} A^T b其中 A 的列向量是 W 的一组基。这两个公式看起来复杂但本质是一样的先找到方向再算比例最后乘回去。我在做这类题的时候会先把 a 和 b 画出来目测一下投影的大致方向和长度然后再算。算完之后对比一下如果差得太远就说明哪里出错了。Gram-Schmidt 正交化是另一个高频考点。步骤是取第一个向量作为第一个正交基然后第二个向量减去它在第一个向量上的投影得到第二个正交基以此类推。最后把每个正交基单位化就得到标准正交基。这个过程计算量很大容易算错。我的建议是每一步都写清楚不要跳步算完一个向量就验证一下它是否与前面的向量正交。3.5 行列式性质比计算更重要行列式的计算题在习题里占比不小但真正拉开差距的不是计算速度而是对性质的理解。比如题目会问如果交换矩阵的两行行列式怎么变如果某一行是另外两行的线性组合行列式是多少如果矩阵是上三角的行列式怎么算核心性质交换两行行列式变号。某一行乘以常数 k行列式乘以 k。某一行加上另一行的倍数行列式不变。如果两行相同或成比例行列式为 0。上三角或下三角矩阵的行列式等于对角线元素之积。这些性质看起来简单但在综合题里经常组合出现。我的做法是拿到一个行列式先观察有没有明显的行关系能不能通过行变换化成三角形。如果能就用性质化简最后算对角线乘积。如果不行再考虑按行或按列展开。展开的时候尽量选零多的行或列这样计算量最小。注意行列式为 0 意味着矩阵不可逆这是判断可逆性的重要依据。但反过来行列式不为 0 只是可逆的必要条件不是充分条件——对于方阵来说行列式不为 0 确实等价于可逆。这一点在习题里经常被用来设置陷阱。4. 刷题过程中最常见的六个坑与排查方法4.1 计算错误符号、分数、抄错行这是最普遍的问题没有之一。我统计过自己做错的题目大概有六成以上都是计算错误而不是概念不清。常见的计算错误包括负号漏写、分数化简出错、矩阵某一行抄错、消元时加减法算错。排查方法每一步都写清楚不要跳步。跳步是计算错误的最大来源。算完之后用另一种方法验证。比如解方程组的解代回原方程矩阵乘法的结果用 NumPy 验证。对于符号问题可以在草稿纸上把负号圈出来提醒自己注意。对于分数问题尽量保持分数形式不要过早化成小数。我自己的习惯是每做完一道题花三十秒快速检查一遍关键步骤。这个习惯帮我省下了大量回头找错误的时间。4.2 概念混淆秩、零空间、列空间分不清秩、零空间、列空间、行空间这几个概念经常被混在一起。题目会问矩阵的秩是多少零空间的维度是多少列空间的基是什么如果你分不清这些概念就很容易答非所问。快速区分秩 rank(A) 列空间的维度 行空间的维度 主元列的个数。零空间 null(A) 是 Ax 0 的所有解构成的集合其维度是 n - rank(A)。列空间 col(A) 是 A 的列向量的所有线性组合构成的集合其基是主元列对应的原始列。行空间 row(A) 是 A 的行向量的所有线性组合构成的集合其基是行阶梯形中的非零行。这些关系在习题里经常以判断题的形式出现。我的建议是把秩-零化度定理rank nullity n背熟遇到问题先想这个定理。4.3 特征值计算三次方程解不出来3×3 矩阵的特征值计算是很多人的噩梦。特征方程是一个三次多项式有时候没有有理根只能用数值方法。但在习题里出题人通常会设计成有整数根或简单分数根的形式。应对策略先试简单的整数根0, 1, -1, 2, -2, 3, -3。如果试出一个根用多项式除法降次把三次方程变成二次方程。如果试不出整数根检查一下矩阵是不是有特殊结构比如对称矩阵特征值都是实数、三角矩阵特征值就是对角线元素。实在不行用求根公式或者数值方法但这种情况在习题里很少见。提示对称矩阵的特征值一定是实数而且不同特征值对应的特征向量一定正交。这个性质在习题里经常用来简化计算。4.4 证明题不知道从哪下手证明题是很多人最头疼的部分。题目往往只有一句话“证明某某性质成立。”没有数字没有矩阵只有抽象的定义和符号。很多人看到这种题就懵了。我的证明题方法论把题目中的每个词都翻译成定义。比如“A 可逆”翻译成“存在矩阵 B 使得 AB BA I”。从定义出发一步一步推导。不要试图一步到位先写出已知条件再写出要证明的结论然后找中间的联系。如果卡住了试试反证法。假设结论不成立看看会推出什么矛盾。多用等价条件。比如“A 可逆”等价于“det(A) ≠ 0”等价于“Ax 0 只有零解”等价于“A 的列向量线性无关”。这些等价条件在证明题里非常有用。我自己的经验是证明题做多了就会形成一种直觉。看到某个条件就知道该往哪个方向推。这种直觉不是天生的是练出来的。4.5 应用题不知道如何建模应用题的特点是文字多背景复杂需要你把实际问题转化成线性代数模型。比如最小二乘问题、网络流问题、马尔可夫链问题。很多人看到文字就晕不知道从哪开始。建模步骤找出问题中的变量和参数。变量是你要解的参数是已知的。找出变量之间的关系。这些关系通常可以写成线性方程或矩阵方程。确定目标。是求精确解还是近似解是求最优解还是可行解把关系写成矩阵形式然后调用相应的线性代数工具。比如最小二乘问题目标是最小化 ||Ax - b||^2。解法是解正规方程 A^T A x A^T b。这个公式在习题里经常出现一定要记住。4.6 时间管理在一道题上卡太久这是策略问题不是知识问题。很多人做习题的时候遇到一道难题就死磕结果一个小时过去了其他题都没做。这种刷题方式效率极低。我的时间管理方法每道题设定一个时间上限比如十五分钟。超过时间上限就标记先跳过做后面的题。等所有题都做完一遍之后再回头处理标记的题。如果回头还是做不出来就看答案或者问人。看懂之后自己再独立做一遍。这个方法的核心逻辑是不要让一道题阻塞整个学习流程。线性代数的知识点是相互关联的后面的题可能会给你前面的题提供灵感。先做一遍再回头往往会有新的思路。5. 从习题到实战如何把刷题成果转化成真实能力5.1 建立错题本不是抄题是写诊断很多人有错题本但用法不对。他们把错题抄一遍答案抄一遍然后就再也不看了。这种错题本没有任何价值。真正有用的错题本应该记录的是这道题我为什么错了是概念不清、计算失误、还是方法不对正确的思路是什么下次遇到类似的题我该怎么避免同样的错误我的错题本格式是这样的题目编号错误类型错误原因正确思路预防措施3.2.5计算错误消元时漏了负号每一步都写清楚不跳步算完后代回验证4.1.2概念混淆把零空间和列空间搞混秩-零化度定理做题前默写定义5.3.1方法不对硬算行列式没想到用性质先观察行关系再化简拿到题先观察三十秒这个表格看起来简单但坚持记录一个月你就会发现自己的错误模式。比如你可能发现自己总是在符号上出错或者总是在特征值计算上卡住。找到模式之后就可以有针对性地练习。5.2 从“会做”到“讲清楚”费曼技巧的运用检验你是否真正掌握一道题最好的方法是把它讲给别人听。如果你能清晰地把解题思路讲出来说明你真的懂了。如果你讲着讲着卡住了说明那里还有漏洞。我自己的做法是每做完一道有代表性的题就假装面前有一个同学把这道题的解法讲一遍。讲的时候不看书不查公式完全凭记忆和理解。如果讲不下去就回去翻书翻完再讲。这个过程很花时间但效果极好。你也可以找一个学习伙伴互相讲题。如果没有伙伴就对着手机录音然后回放。回放的时候你会发现自己哪里讲得含糊哪里逻辑跳跃。这些地方就是你需要加强的地方。5.3 把习题和真实场景挂钩线性代数的习题往往很抽象但它的应用场景非常广泛。如果你能把习题和真实场景挂钩学习动力会强很多。比如矩阵乘法对应的是线性变换的复合。图像旋转、缩放、剪切都是矩阵乘法。特征值对应的是变换的不变方向。在振动分析中特征值对应固有频率。最小二乘对应的是数据拟合。给你一堆散点找一条直线使误差平方和最小。马尔可夫矩阵对应的是状态转移。网页排名、人口流动都可以用马尔可夫链建模。我在刷题的时候会刻意去想这道题如果放到真实场景里会是什么样子比如做投影题的时候我会想这就像把三维空间中的点投影到二维平面上做降维。做特征值题的时候我会想这就像找系统的固有模式。这种联想让抽象的符号变得具体也让刷题变得不那么枯燥。5.4 定期回顾三天、一周、一个月刷题不是一锤子买卖需要定期回顾。我的回顾周期是这样的三天后把三天内做错的题重做一遍。如果还错标记为“顽固错题”。一周后把一周内的所有错题重做一遍包括三天内已经做对的。一个月后把一个月内的顽固错题重做一遍同时随机抽几道做对的题检验是否真的掌握了。这个回顾周期看起来麻烦但实际执行起来并不花太多时间。每天花十五分钟回顾比一次性刷三个小时然后忘光要有效得多。提示回顾的时候不要只看答案要重新推导一遍。看答案会产生“我会了”的错觉重新推导才能暴露真实水平。6. 工具与资源让刷题效率翻倍6.1 手算与机算的配合手算是基础机算是验证。两者配合效率最高。我的做法是手算一遍然后用 Python 的 NumPy 库验证。如果结果一致就跳过如果不一致就回头找错误。比如解线性方程组import numpy as np A np.array([[2, 1, -1], [-3, -1, 2], [-2, 1, 2]]) b np.array([8, -11, -3]) x np.linalg.solve(A, b) print(x)这段代码几秒钟就能跑完但手算可能需要几分钟。用机算验证手算既快又准。6.2 符号计算工具的使用有些题目涉及符号运算比如带参数的矩阵求逆、特征值。这时候 NumPy 就不够用了需要用 SymPy 这样的符号计算库。from sympy import Matrix, symbols a, b symbols(a b) A Matrix([[a, b], [b, a]]) print(A.eigenvals()) print(A.inv())SymPy 可以帮你处理符号运算但不要依赖它。习题的目的是训练你的手算能力符号计算工具只是辅助验证。6.3 可视化工具让抽象概念变直观线性代数里很多概念是几何的用可视化工具可以帮你建立直觉。比如用 Matplotlib 画向量、画投影、画特征向量。import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np v np.array([2, 1]) w np.array([1, 3]) plt.quiver(0, 0, v[0], v[1], anglesxy, scale_unitsxy, scale1, colorr) plt.quiver(0, 0, w[0], w[1], anglesxy, scale_unitsxy, scale1, colorb) plt.xlim(-1, 4) plt.ylim(-1, 4) plt.grid() plt.show()这段代码会画出两个向量。你可以直观地看到它们的方向和长度。做投影题的时候把投影向量也画出来一眼就能看出对不对。6.4 习题答案的正确使用方式很多人把答案当成救命稻草做不出来就看答案。但答案的正确用法是做完之后对答案而不是做之前看答案。我的建议是先自己做不管花多长时间。做完之后对答案。如果对了快速扫一眼答案的思路看看有没有更简洁的方法。如果错了不要只看答案要分析自己错在哪一步为什么错。看完答案之后把答案合上自己重新做一遍。如果能独立做出来才算真正掌握。注意答案不是标准只是参考。有时候答案的方法很笨你的方法更简洁那就坚持自己的方法。线性代数里很多题都有多种解法找到最适合自己的那种。7. 不同基础的学习者该怎么上手7.1 零基础先补概念再刷题如果你完全没有线性代数基础直接刷题会很痛苦。我的建议是先花一周时间把基本概念过一遍。不需要深入只需要知道每个名词是什么意思每个运算怎么算。具体来说第一天向量和矩阵的定义矩阵加减法和乘法。第二天线性方程组和高斯消元。第三天逆矩阵和行列式。第四天向量空间和子空间。第五天特征值和特征向量。第六天正交性和投影。第七天综合复习做几道简单题练手。一周之后你就可以开始刷习题了。刚开始的时候从最简单的计算题做起不要碰证明题。等计算熟练了再慢慢过渡到概念题和证明题。7.2 有基础但做题总出错专项突破如果你已经学过一遍但做题总是出错那问题可能出在某个特定环节上。这时候不要盲目刷题要先诊断。诊断方法是找一套综合题限时做一遍。做完之后统计错误类型。如果计算错误占多数就专门练计算如果概念错误占多数就回去补概念如果证明题不会就专门练证明。专项突破的关键是集中火力一次只解决一个问题。比如你这周只练特征值计算每天做十道特征值题连做一周。一周之后你会发现特征值计算变得像呼吸一样自然。7.3 冲刺高分挑战难题和综合题如果你基础已经很扎实做题正确率也很高那就可以挑战更高难度的题目。MIT 线性代数习题里有一些综合题涉及多个知识点的交叉。比如一道题可能同时用到特征值、正交性和最小二乘。这类题的特点是步骤多计算量大但每一步都不难。你需要的是耐心和细心。我的建议是把每道综合题拆成若干个小步骤一步一步来。每完成一步就检查一下。不要试图一口气做完那样容易出错。另外可以尝试一题多解。比如一道特征值题你可以用特征方程解也可以用对角化解还可以用几何方法解。比较不同方法的优劣能加深你对知识的理解。8. 一些零散但重要的经验8.1 草稿纸的用法草稿纸不是随便乱写的。我的习惯是把草稿纸分区每道题一个区域标上题号。这样检查的时候容易找到对应的计算过程。另外重要的步骤用方框框起来方便回头查看。8.2 符号的书写规范线性代数里符号很多写清楚很重要。比如 λ 和 x 要区分开A 和 a 要区分开0 和 O 要区分开。我见过很多人因为符号写得潦草导致自己看错算错。8.3 遇到瓶颈怎么办刷题遇到瓶颈是正常的。这时候不要硬扛可以换个科目学一学或者出去走走。有时候放空一下回来就有思路了。另外跟别人讨论也是突破瓶颈的好方法。给别人讲一遍往往能发现自己思维的盲区。8.4 保持手感线性代数是一门需要保持手感的学科。如果你停了两周不做题再捡起来会觉得生疏。我的建议是即使很忙每天也做一道题。一道题花不了十分钟但能保持你的思维活跃。8.5 不要追求刷题数量刷题的目的是掌握知识不是比谁做的题多。我见过有人刷了五百道题但遇到新题还是不会。问题在于他们只刷题不总结。每做一道题都要问自己这道题考了什么我学到了什么下次遇到类似的题我能独立做出来吗我自己的节奏是每天做五到十道题但每道题都认真总结。一个月下来大概做两百道题但这两百道题我都能讲清楚。这比刷一千道题但一知半解要强得多。8.6 考试前的准备如果你是为了考试而刷题那考试前一周要调整策略。不要再做新题而是把错题本翻一遍把典型题重做一遍。考试前一天早点休息不要熬夜刷题。线性代数考试考的是熟练度和细心程度休息好才能发挥出水平。提示考试的时候先做会做的题把难题留到最后。不要在一道题上卡太久浪费时间。做完之后如果有时间一定要检查计算过程。9. 从习题延伸到更远的地方线性代数习题只是一个起点。当你把这套习题刷透之后你会发现很多后续课程都建立在它之上。比如微分方程线性微分方程组的解可以用矩阵指数表示特征值决定了系统的稳定性。数值分析矩阵分解LU、QR、SVD是数值计算的核心工具。机器学习数据降维、回归、分类都离不开矩阵运算和特征值分解。信号处理傅里叶变换可以写成矩阵形式滤波器的设计用到特征值。量子力学态向量、算符、测量都对应线性代数中的向量、矩阵和投影。如果你能把线性代数习题里的每一个概念都理解透彻后续的学习会轻松很多。反过来如果习题里的漏洞没补上后续课程就会越学越吃力。我自己的体会是线性代数是一门“越用越懂”的学科。第一次学的时候很多概念是模糊的做题的时候慢慢清晰等到在真实场景里用到的时候才真正理解。所以不要指望一遍就学透。多做题多回顾多应用自然就懂了。最后再分享一个小技巧如果你觉得某道题特别难试着把它简化。比如把 3×3 矩阵换成 2×2 矩阵把一般情况换成特殊情况。简化之后往往能看出问题的本质。然后再把结论推广回去难题就不难了。这个技巧我在做证明题的时候经常用效果很好。
