【本节目标】算法效率时间复杂度空间复杂度常见时间复杂度以及复杂度 OJ 练习目录1. 算法效率1.1 如何衡量一个算法的好坏1.2 算法的复杂度1.3 复杂度在校招中的考察2. 时间复杂度2.1 时间复杂度的概念2.2 大 O 的渐进表示法2.3 常见时间复杂度计算举例3. 空间复杂度4. 常见复杂度对比1. 算法效率1.1 如何衡量一个算法的好坏如何衡量一个算法的好坏呢比如对于以下斐波那契数列longlongFib(intN){if(N3)return1;returnFib(N-1)Fib(N-2);}斐波那契数列的递归实现方式非常简洁但简洁一定好吗那该如何衡量其好与坏呢1.2 算法的复杂度算法在编写成可执行程序后运行时需要耗费时间资源和空间内存资源。因此衡量一个算法的好坏一般是从时间和空间两个维度来衡量的即时间复杂度和空间复杂度。**时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。**在计算机发展的早期计算机的存储容量很小所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展计算机的存储容量已经达到了很高的程度所以我们如今已经不需要特别关注一个算法的空间复杂度。1.3 复杂度在校招中的考察2. 时间复杂度2.1 时间复杂度的概念时间复杂度的定义在计算机科学中算法的时间复杂度是一个函数它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间从理论上说是不能算出来的只有你把你的程序放在机器上跑起来才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗就是可以都上机测试但是这很麻烦所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例算法中的基本操作的执行次数为算法的时间复杂度。即找到某条基本语句与问题规模 N 之间的数学表达式就是算出了该算法的时间复杂度。// 请计算一下 Func1 中 count 语句总共执行了多少次voidFunc1(intN){intcount0;for(inti0;iN;i){for(intj0;jN;j){count;}}for(intk0;k2*N;k){count;}intM10;while(M--){count;}printf(%d\n,count);}Func1 执行的基本操作次数F ( N ) N 2 2 × N 10 F(N) N^2 2 \times N 10F(N)N22×N10N 10 N 10N10F ( N ) 130 F(N) 130F(N)130N 100 N 100N100F ( N ) 10210 F(N) 10210F(N)10210N 1000 N 1000N1000F ( N ) 1002010 F(N) 1002010F(N)1002010实际中我们计算时间复杂度时其实并不一定要计算精确的执行次数而只需要大概执行次数那么这里我们使用大 O 的渐进表示法。2.2 大 O 的渐进表示法大 O 符号Big O notation是用于描述函数渐进行为的数学符号。推导大 O 阶方法用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。在修改后的运行次数函数中只保留最高阶项。如果最高阶项存在且不是 1则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。使用大 O 的渐进表示法以后Func1 的时间复杂度为O ( N 2 ) O(N^2)O(N2)N 10 N 10N10F ( N ) 100 F(N) 100F(N)100N 100 N 100N100F ( N ) 10000 F(N) 10000F(N)10000N 1000 N 1000N1000F ( N ) 1000000 F(N) 1000000F(N)1000000通过上面我们会发现大 O 的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项简洁明了地表示出了执行次数。另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况最坏情况任意输入规模的最大运行次数上界。平均情况任意输入规模的期望运行次数。最好情况任意输入规模的最小运行次数下界。例如在一个长度为 N 的数组中搜索一个数据 x最好情况1 次找到。最坏情况N 次找到。平均情况N/2 次找到。在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况所以数组中搜索数据时间复杂度为 O(N)。2.3 常见时间复杂度计算举例实例 1// 计算 Func2 的时间复杂度voidFunc2(intN){intcount0;for(intk0;k2*N;k){count;}intM10;while(M--){count;}printf(%d\n,count);}实例 2// 计算 Func3 的时间复杂度voidFunc3(intN,intM){intcount0;for(intk0;kM;k){count;}for(intk0;kN;k){count;}printf(%d\n,count);}实例 3// 计算 Func4 的时间复杂度voidFunc4(intN){intcount0;for(intk0;k100;k){count;}printf(%d\n,count);}实例 4// 计算 strchr 的时间复杂度constchar*strchr(constchar*str,intcharacter);实例 5// 计算 BubbleSort 的时间复杂度voidBubbleSort(int*a,intn){assert(a);for(size_tendn;end0;--end){intexchange0;for(size_ti1;iend;i){if(a[i-1]a[i]){Swap(a[i-1],a[i]);exchange1;}}if(exchange0)break;}}实例 6// 计算 BinarySearch 的时间复杂度intBinarySearch(int*a,intn,intx){assert(a);intbegin0;intendn-1;// [begin, end]begin 和 end 是左闭右闭区间因此有 号while(beginend){intmidbegin((end-begin)1);if(a[mid]x)beginmid1;elseif(a[mid]x)endmid-1;elsereturnmid;}return-1;}实例 7// 计算阶乘递归 Fac 的时间复杂度longlongFac(size_tN){if(0N)return1;returnFac(N-1)*N;}实例 8// 计算斐波那契递归 Fib 的时间复杂度longlongFib(size_tN){if(N3)return1;returnFib(N-1)Fib(N-2);}实例答案及分析实例 1 基本操作执行了2 N 10 2N102N10次通过推导大 O 阶方法知道时间复杂度为O ( N ) O(N)O(N)。实例 2 基本操作执行了M N MNMN次有两个未知数 M 和 N时间复杂度为O ( N M ) O(NM)O(NM)。实例 3 基本操作执行了 10 次通过推导大 O 阶方法时间复杂度为O ( 1 ) O(1)O(1)。实例 4 基本操作执行最好 1 次最坏 N 次时间复杂度一般看最坏时间复杂度为O ( N ) O(N)O(N)。实例 5 基本操作执行最好 N 次最坏执行了N ( N 1 ) / 2 N(N1)/2N(N1)/2次通过推导大 O 阶方法且时间复杂度一般看最坏时间复杂度为O ( N 2 ) O(N^2)O(N2)。实例 6 基本操作执行最好 1 次最坏O ( log N ) O(\log N)O(logN)次时间复杂度为O ( log N ) O(\log N)O(logN)。注log N \log NlogN在算法分析中表示以 2 为底、N 为真数的对数。有些地方会写成lg N \lg NlgN。建议通过折纸查找的方式讲解log N \log NlogN是怎么计算出来的。实例 7 通过计算分析发现基本操作递归了 N 次时间复杂度为O ( N ) O(N)O(N)。实例 8 通过计算分析发现基本操作递归了2 N 2^N2N次时间复杂度为O ( 2 N ) O(2^N)O(2N)。建议画图递归栈帧的二叉树讲解。3. 空间复杂度空间复杂度也是一个数学表达式是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间因为这个也没太大意义所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似也使用大 O 渐进表示法。注意函数运行时所需要的栈空间存储参数、局部变量、一些寄存器信息等在编译期间已经确定好了因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。实例 1// 计算 BubbleSort 的空间复杂度voidBubbleSort(int*a,intn){assert(a);for(size_tendn;end0;--end){intexchange0;for(size_ti1;iend;i){if(a[i-1]a[i]){Swap(a[i-1],a[i]);exchange1;}}if(exchange0)break;}}实例 2// 计算 Fibonacci 的空间复杂度// 返回斐波那契数列的前 n 项longlong*Fibonacci(size_tn){if(n0)returnNULL;longlong*fibArray(longlong*)malloc((n1)*sizeof(longlong));fibArray[0]0;fibArray[1]1;for(inti2;in;i){fibArray[i]fibArray[i-1]fibArray[i-2];}returnfibArray;}实例 3// 计算阶乘递归 Fac 的空间复杂度longlongFac(size_tN){if(N0)return1;returnFac(N-1)*N;}实例答案及分析实例 1 使用了常数个额外空间所以空间复杂度为O ( 1 ) O(1)O(1)。实例 2 动态开辟了 N 个空间空间复杂度为O ( N ) O(N)O(N)。实例 3 递归调用了 N 次开辟了 N 个栈帧每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O ( N ) O(N)O(N)4. 常见复杂度对比一般算法常见的复杂度如下
