月赛看到丙组 T1 的题名“和差还原”时很多选手会先松一口气编程竞赛的入门组第一题通常就是送分题。但成绩出来往往打脸——这道题看着简单WAWrong Answer率却高得吓人。作为带过不少新人打月赛的老选手我太清楚这类题目的杀伤力了思路人人都会丢分全在细节。这篇内容就围绕“和差还原”这道典型 T1讲清楚它到底在考什么、公式怎么推导、C 代码怎么写最能避开坑最后再聊聊我从这道题延伸出来的一些竞赛经验。不管你现在是刚学 C 几个月的新手还是已经能稳定拿分但偶尔在简单题上翻车的老手这篇文章都值得看完——因为简单题的丢分方式往往比难题更隐蔽。1. 先把题面读明白“和差还原”到底还原什么1.1 初见题目的第一反应“和差还原”这个题名在竞赛里其实是一个系列。丙组 T1 最常见的版本是这样的输入两个整数 S 和 D其中 S 代表两个整数 x 和 y 的和x y SD 代表两个整数的差x - y D要求你还原出 x 和 y 这两个数。如果不存在整数解就按题目要求输出一个提示比如 “No”。我第一次带学生做这道题的时候班里有个小朋友看完题直接开写两分钟交上去结果 WA。他一脸懵地问我“老师我用 S 减 D 再除以 2 算 y加 D 再除以 2 算 x不对吗”当然不对。因为他没意识到这里最关键的不是套公式而是先判断“到底能不能整除”。如果 S 和 D 的奇偶性不一致你算出来的根本就不是整数而题目要的是整数解。这个“先判断、后计算”的意识恰恰是 T1 真正想考察的东西。1.2 为什么出题组把这道题放在第一题丙组的定位是入门组T1 又是入门组的开局题。出题组把它放在这里并不是真的想靠这道题难倒谁而是想完成三个目的第一筛选出“能读懂题面”的选手。竞赛题从来不会直接说“求 x 和 y”而是用“和差还原”这种带点伪装的说法考验你把自然语言翻译成数学表达式的能力。第二检验基本功的扎实程度。顺序结构、输入输出、整数运算、条件判断这些 C 的基础语法是否熟练一道 T1 全能看出来。第三给考生一个心理缓冲。第一题如果顺利拿下后面的题目心态会稳很多。反过来第一题如果反复 WA整场比赛都很容易崩。这也是为什么我常说T1 这种送分题恰恰是最值得专门花时间研究的一类题。2. 数学推导公式不是背出来的2.1 从方程组到一行公式很多同学看到“和差还原”第一反应是背公式“x 等于和加差除以二y 等于和减差除以二。”公式没错但如果只会背遇到变体题就抓瞎。我更建议大家现场推一遍整个过程不超过十秒。已知条件是两个方程x y S x - y D把两个方程相加左边是 (x y) (x - y) 2x右边是 S D所以 2x S D两边除以 2得到x (S D) / 2再把两个方程相减左边是 (x y) - (x - y) 2y右边是 S - D所以 2y S - D得到y (S - D) / 2就这么简单。你把这个推导过程记在心里比背公式可靠得多——遇到“给 x 与 y 的差与和”之类的变体你只要把方程列出来加减消元马上就能得到新的公式。2.2 奇偶性判断有没有整数解的关键一步公式推出来之后有一个隐藏问题如果 S D 是奇数怎么办在数学上(S D) / 2 当然可以是一个分数但竞赛题里的 x 和 y 要求是整数所以你必须先判断 S D 能否被 2 整除。更严谨地说要让 x 和 y 都是整数S D 和 S - D 必须都是偶数。这里有一个巧妙的等价条件从方程组可以推出S - D (x y) - (x - y) 2y右边显然是偶数所以 S - D 必须是偶数。又因为 S D 和 S - D 相差 2D它们的奇偶性必然相同所以只要判断 S D 是偶数S - D 也一定是偶数。换句话说S 和 D 必须奇偶性一致。如果 S 是奇数、D 是偶数或者反过来那么直接输出“无解”。举个例子S 10D 410 和 4 都是偶数有解。x (10 4) / 2 7y (10 - 4) / 2 3验证一下7 3 107 - 3 4正确。再举一个反例S 9D 49 是奇数、4 是偶数S D 13 无法被 2 整除没有整数解必须输出提示。2.3 负数和零到底会不会出问题有些同学看到“负数”就慌乱担心公式失效。其实完全不用担心。这个方程组和推导过程对负数一视同仁。比如 S -4D -2x (-4 (-2)) / 2 -3y (-4 - (-2)) / 2 -1验证一下(-3) (-1) -4(-3) - (-1) -2完全正确。还有一个容易被忽略的情况D 0。如果 S 6D 0那么 x (6 0) / 2 3y (6 - 0) / 2 3。两个数相等差为零没有问题。所以写代码时不要对 D 0 做任何特殊处理公式天然兼容。3. C 实现10 行代码拿下 T13.1 最小可提交版本有了上面的推导写代码就只是翻译工作。先给出一个最精简的可用版本#include bits/stdc.h using namespace std; int main() { long long S, D; cin S D; // 判断 S 和 D 奇偶性是否一致 if ((S D) % 2 ! 0) { cout No endl; return 0; } long long x (S D) / 2; long long y (S - D) / 2; cout x y endl; return 0; }这段代码的核心逻辑就两步第一步用 (S D) % 2 ! 0 判断无解第二步套公式输出。如果题目要求输出顺序是先 y 后 x或者无解提示写成 “NO piecewise”你只需要改输出那一行即可。注意这里我用了long long不是int。原因下面单独说。3.2 数据类型用 int 还是 long long入门组的选手最容易在这上面栽跟头。很多教材教int用习惯了遇到什么数字都用int存结果 T1 的数据范围稍微大一点就溢出。我们算一笔账如果题目给定的 S 和 D 范围是-10^9 到 10^9那么 S D 的最大值是 2×10^9。int 能表示的最大值是 2147483647也就是大约 2.147×10^9。看着好像没超对吧但如果 S 是 2147483647D 是 1S D 就变成了 2147483648这个数已经越过了 int 的边界会回绕成一个负数你的奇偶性判断直接作废。更别提有的题目范围会给到-10^18。所以我的建议是凡是竞赛题里涉及“和”或“差”的 T1一律无脑用long long。这不是炫技这是最基本的自我保护。long long能表示到大约 9.22×10^18绝大多数入门组题目都在它的射程范围内。3.3 输入输出格式的细节输入输出虽然简单但细节决定成败。第一建议在main()开头写一行ios::sync_with_stdio(false);。它能让cin/cout的运行速度大幅提升。虽然 T1 的数据量不大写不写都能过但养成习惯对后面的题目至关重要。第二注意题目要求的输出格式。有的题要求两个数之间用空格分隔有的要求每个数占一行无解提示的大小写也可能不同——有的是 “No”有的是 “NO”有的是 “impossible”。不要想当然必须逐字核对题面。第三如果题目要求“多组数据处理到文件结束”你就需要把核心逻辑包在while (cin S D)里而不是只读一组数据。这是新手最容易忽略的坑因为样例通常只有一组数据交上去才发现还有隐藏的多组测试点。4. 考场上最容易踩的坑4.1 负数的整除陷阱这是我在实际比赛中见到最多的一类错误。C 的整数除法规则是“向零截断”不是数学里的“向下取整”。举个例子(-7) / 2在 C 里结果是-3因为 -3.5 向零取整得到 -3但在数学上我们通常期望 -3.5 向下取整得到 -4。放在这道题里如果你不先判断奇偶性直接计算x (S D) / 2遇到 S 8、D -1 这种 S D 是奇数的数据程序会静默地丢掉小数部分输出一个“看起来合理”却完全错误的整数。加上奇偶性判断之后这样的数据会在第一步就被拦截称为无解不会进入除法。所以我把这条列为头号避坑法则(S D) / 2这个式子必须在确认(S D)是偶数之后才能执行。4.2 整数溢出的隐藏雷如果说负数整除是“弯道翻车”整数溢出就是“直道爆胎”。很多同学觉得 T1 而已数据范围再大能大到哪里去结果就翻车了。我见过一个真实的赛后复盘有个选手用int存 S 和 D自测样例全过交上去一个测试点都过不了。后来才发现题面的数据范围上限是2^31 - 1而他的代码里S D恰好越过了 int 边界变成了负数。负数的奇偶性判断没错但算出来的 x、y 完全不对。这种错误非常隐蔽因为本地小数据测不出来。避免方法只有一个凡是参与和、差、乘积运算的变量全部用long long。我给这个口诀起了个名字叫“T1 保命法则”。4.3 多组数据与换行输出另一个常见问题是多组数据。有些题面的格式是“输入包含多行每行两个整数”样例却只给了三行。新手很容易写成一次cin只读一组、算完就结束的代码。正确的写法是while (cin S D) { if ((S D) % 2 ! 0) { cout No endl; continue; } cout (S D) / 2 (S - D) / 2 endl; }养成“看到多组数据就写while循环”的条件反射是竞赛入门阶段必须训练的技能。同时注意每组输出之间要不要空行这个也以题面为准。4.4 读题的坑差的绝对值与输出顺序有些“和差还原”的变体题目给的并不是有方向的差而是两个数的差的绝对值。比如S 表示 x yD 表示 |x - y|。这种情况下虽然你仍然用同一个公式计算但 x 和 y 谁大谁小是不确定的。如果题目要求“从小到大输出两个数”你就需要先算出两个值然后比较大小再输出或者直接用max/min处理。还有的题目要求“先输出较大的数再输出较小的数”读题时稍微慢一点就能避开这个坑。我的习惯是读完题面后先在草稿纸上写清楚“输出顺序”和“无解时的输出文本”再开始写代码。5. 从 T1 延伸和差还原的常见变体5.1 三个数的和差还原理解了二元的方程组我们就可以顺带看一下三元的版本因为这类变体在中段位题目里非常常见。题目可能这样出已知以下三个和的值求 a、b、c 三个整数S12 a b S23 b c S31 c a思路仍然是加减消元。把三个方程相加得到 2(a b c) S12 S23 S31于是a (S12 S31 - S23) / 2 b (S12 S23 - S31) / 2 c (S23 S31 - S12) / 2推导过程就是三个式子彼此加减。你看T1 的“和差还原”只是最简单的一层一旦你掌握了“列方程、加减消元、判断整除”这套方法论所有同类题都能轻松解出。5.2 附加条件要求非负整数解有的题目会加一个条件x 和 y 必须是“非负整数”。这时候即使 S 和 D 奇偶性一致也不能直接输出因为你还要额外检查 x 和 y 是否都大于等于 0。这类题其实就是把“存在性判断”从“有无整数解”扩展到了“是否满足附加约束”难度只增加了一点点。做法也很简单算出 x 和 y 之后加一个if (x 0 || y 0) cout No;就行。这类附加条件是出题组防止选手“无脑套模板”的常见手段所以读题时一定要把每一个约束条件都圈出来。5.3 和差思想在竞赛中的延伸“和差”思想在竞赛里远不止这一道送分题。比如差分数组给定一个数组的原值可以通过相邻项做差得到差分数组反过来从差分数组还原原数组用的就是“逐项累加”的过程。这套思想本质上是把“全局信息”转换成“局部的和差关系”在区间修改、前缀和等经典问题里反复出现。所以别看 T1 题面简单它所训练的“从条件中提取方程”的能力是后续所有算法模块的共同基础。我见过不少选手在后期卡在那些看起来复杂的题目上回头一复盘问题恰恰出在这个最基础的能力上——无法把一个描述性的条件转换成数学表达式。6. 给准备月赛的同学几点实在建议6.1 签到题的策略价值一场比赛通常有四到五道题T1 的分数占比虽然不高但它的战略价值不在于分数而在于心态。开局快速、干净地拿下一血后面读题、写题都会从容很多反过来如果 T1 反复提交、反复 WA后面的 T2、T3 很容易因为急躁而频繁出错。我自己的比赛策略是拿到题目先花两分钟把 T1 的题面读完确认数据范围、输出格式、无解提示这三个关键信息然后一次性把代码写对尽量做到零次罚时。记住罚时也会计入总成绩多一次错误提交就可能比别人落后一名。6.2 自测样例的清单式检查法写完代码别急着提交先自己跑几个边界数据。我有个固定的检查清单写在这里可以直接抄作业S 10D 4正常情况输出 7 3。S 9D 4无解验证输出 No。S -4D -2负数情况输出 -3 -1。S 6D 0两个数相等输出 3 3。S 2147483647D 0数据范围边界确认程序不会溢出。如果这五组数据都能得到预期结果这题基本就稳了。用这个检查清单比你在心里默念“我肯定没写错”可靠一万倍。6.3 关于“简单题翻车”的一点个人体会带过几次月赛培训之后我发现能在竞赛里稳定拿高分的人往往不是那些会解难题的人而是那些永远不在简单题上丢分的人。简单题的翻车几乎都是同一个原因太自信跳过关键检查。“和差还原”这种题目说穿了就是小学奥数里的和差问题套上一层 C 的外衣。但只要稍微粗心一点负数整除、int 溢出、多组数据、输出顺序哪个坑都可能让你白白送掉 AC。所以我在指导新人时总爱说一句话把送分题当成压轴题来对待每一行代码都问一句“为什么”你才能真正在这个赛场上站稳脚跟。比赛不奖励“觉得会做”的人只奖励“确实做对”的人。
