简介这份资源是华中科技大学2022级程序设计综合课程设计的任务设计问题成果主题为基于SAT的蜂窝数独游戏求解程序面向计算机、人工智能、通信工程、自动化等专业的在校学生与教师也适合作为课程设计、毕业设计或算法学习进阶的参考案例。压缩包共11个文件约1.23MB以7个cpp源文件与1个h头文件构成核心代码涵盖SAT求解器与蜂窝数独转CNF公式两大板块另附1份pdf实验报告、1个md说明文档及gitignore配置便于理解整体架构与实现思路。目前已有150人学习关注。读者可从中获得完整的SAT建模与DPLL求解实现、数独约束到CNF的转化逻辑、可运行的C工程代码以及答辩评审平均96分的实验报告适合直接研读、复现或在此基础上扩展其他约束求解功能。1. 从华中科技大学这道课设说起SAT 求解器怎么把蜂窝数独啃下来蜂窝数独不是普通九宫格。它把 81 个格子换成六边形蜂窝结构每个蜂窝单元有 6 个邻居约束关系从「行、列、宫」变成「蜂窝环 斜线 区域」规则一变回溯搜索的剪枝效率断崖式下跌。华中科技大学程序设计综合课程设计里这道「基于 SAT 的蜂窝数独游戏求解程序」本质是让你把数独的约束编码成合取范式CNF再交给 SAT 求解器判定可满足性而不是自己写一个暴力 DFS 硬搜。这个思路在 C 课程设计里属于「看起来超纲、做起来真香」的典型你不需要发明算法只需要把问题翻译对剩下的交给 DPLL 或 CDCL 引擎。适合已经学过 C 基础、想拿一个能写进简历的完整项目练手的人也适合被回溯超时折磨过、想看看工业级约束求解长什么样的同学。下面我按自己复现这套方案时踩过的顺序把编码、求解、验证、排错一条线讲透。2. 蜂窝数独的约束建模从棋盘到 CNF 的翻译规则2.1 为什么不能直接套九宫格数独的编码普通数独的 SAT 编码很成熟9×9 个格子每个格子 9 个布尔变量一共 729 个变量加上「每格至少一个值」「每格至多一个值」「每行每列每宫 1-9 各出现一次」四类子句几千条约束就能跑。但蜂窝数独的几何结构不一样如果你直接把蜂窝坐标硬塞进 9×9 的框架会出现两个致命问题一是邻居关系错位蜂窝的 6 邻域在矩形网格里根本表达不出来二是区域划分不规则蜂窝数独的「宫」通常是 7 个或 6 个单元组成的蜂巢块不是 3×3 方块。我一开始偷懒用矩形近似结果求解器给出的解在蜂窝规则下全是错的血泪经验就是棋盘拓扑必须先建模对再谈 SAT 编码。常见做法是先把蜂窝棋盘抽象成一张图节点是格子边是约束关系。蜂窝数独的约束分三类——蜂窝环约束每个蜂窝单元周围 6 个邻居不能重复、斜线约束某些对角线上的数字不重复、区域约束每个蜂巢块内 1-N 各出现一次。把这三类约束分别转成 CNF 子句才是正确路径。2.2 变量定义与「至少一个、至多一个」子句生成假设蜂窝数独有 N 个格子每个格子可填 1 到 MM 通常等于格子数或区域大小。定义布尔变量x[i][v]表示第 i 个格子填 v。变量总数 N×M。下面这段 C 代码负责生成基础子句// N: 格子数, M: 最大数字 // var(i, v) 返回变量编号从 1 开始SAT 求解器习惯 1-based int var(int i, int v) { return i * M v 1; } vectorvectorint clauses; // 约束1每个格子至少填一个数字 for (int i 0; i N; i) { vectorint c; for (int v 1; v M; v) c.push_back(var(i, v)); clauses.push_back(c); // 子句x[i][1] ∨ x[i][2] ∨ ... ∨ x[i][M] } // 约束2每个格子至多填一个数字两两互斥 for (int i 0; i N; i) { for (int v 1; v M; v) { for (int w v 1; w M; w) { clauses.push_back({-var(i, v), -var(i, w)}); } } }逻辑说明约束 1 是「至少一个」写成一个大析取子句约束 2 是「至多一个」用成对互斥的二元子句表达。参数上var(i, v)的编号方式决定了后面解析模型时的映射关系建议统一用i * M v 1避免 0 和 1 混淆。注意 M 的取值如果蜂窝数独是 7 格区域M 就是 7如果是混合区域取最大区域大小。这里有个坑M 取大了变量数暴涨M 取小了约束表达不全我一般先统计所有区域的最大尺寸再定 M。2.3 蜂窝邻居、斜线与区域约束的子句写法有了基础变量接下来把三类几何约束翻译成 CNF。蜂窝邻居约束的意思是对每个格子 i 和它的每个邻居 j如果 i 填了 v那么 j 不能填 v。写成子句就是¬x[i][v] ∨ ¬x[j][v]。斜线约束同理只是邻居集合换成斜线路径上的格子。区域约束稍微复杂每个区域内的格子数字 1-M 各出现一次等价于「区域内每个数字至少出现一次」加上「区域内同一数字至多出现一次」。// neighbors[i]: 格子 i 的蜂窝邻居列表 // regions[r]: 第 r 个区域包含的格子列表 for (int i 0; i N; i) { for (int j : neighbors[i]) { if (j i) continue; // 避免重复加子句 for (int v 1; v M; v) { clauses.push_back({-var(i, v), -var(j, v)}); } } } // 区域约束每个数字在区域内至少出现一次 for (auto reg : regions) { for (int v 1; v M; v) { vectorint c; for (int i : reg) c.push_back(var(i, v)); clauses.push_back(c); } // 至多一次区域内任意两格不能填同一数字 for (int a 0; a reg.size(); a) for (int b a 1; b reg.size(); b) for (int v 1; v M; v) clauses.push_back({-var(reg[a], v), -var(reg[b], v)}); }参数说明neighbors和regions需要你根据蜂窝棋盘的几何定义提前算好这是整个项目里最容易出错的地方。我建议单独写一个buildTopology()函数把蜂窝坐标转成邻接表再用单元测试验证邻居数量——标准蜂窝每个内部格子应该有 6 个邻居边界格子少于 6 个。如果发现某个格子邻居数是 5 或 7说明坐标转换写错了。斜线约束的路径也要显式列出不要试图用公式动态生成蜂窝斜线在坐标变换后往往不是直线。3. 用 C 接一个 SAT 求解器DPLL 自研还是调库3.1 自研 DPLL 的最小实现与适用边界课程设计通常要求你体现「算法实现能力」所以很多同学会选择自己写一个 DPLLDavis-Putnam-Logemann-Loveland求解器。DPLL 的核心是单元传播 分支回溯代码量不大两百行左右能跑通。下面是一个最小骨架struct Solver { vectorvectorint clauses; vectorint assign; // 0未赋值, 1真, -1假 bool unitPropagate() { bool changed true; while (changed) { changed false; for (auto c : clauses) { int unassigned 0, last 0; bool satisfied false; for (int lit : c) { int v abs(lit); if (assign[v] 0) { unassigned; last lit; } else if ((lit 0 assign[v] 1) || (lit 0 assign[v] -1)) { satisfied true; break; } } if (satisfied) continue; if (unassigned 0) return false; // 冲突 if (unassigned 1) { int v abs(last); assign[v] (last 0) ? 1 : -1; changed true; } } } return true; } bool dpll() { if (!unitPropagate()) return false; int v pickBranchVar(); if (v -1) return true; // 全部赋值 for (int val : {1, -1}) { vectorint backup assign; assign[v] val; if (dpll()) return true; assign backup; } return false; } };逻辑说明unitPropagate反复扫描子句遇到单元子句就强制赋值遇到空子句就报冲突。dpll选一个未赋值变量尝试真和假两个分支。参数上pickBranchVar的启发式策略直接影响性能简单做法是选出现频率最高的变量进阶可以用 VSIDS变量状态独立衰减和。边界自研 DPLL 在蜂窝数独这种几千变量、上万子句的规模上如果不加优化求解时间可能从几秒到几分钟不等遇到难解实例会明显变慢。如果你的课设允许调库建议自研版只作为理解原理的对照正式求解用工业级库。3.2 链接 MiniSat 或 CaDiCaL 的编译配置工业级 SAT 求解器里MiniSat 是经典选择代码干净、容易嵌入CaDiCaL 更新更快适合追求性能。以 MiniSat 为例你只需要把Solver.cc、Solver.h等核心文件加入工程然后调用它的接口#include minisat/core/Solver.h using namespace Minisat; bool solveWithMiniSat(vectorvectorint clauses, int numVars, vectorint model) { Solver solver; solver.newVars(numVars); for (auto c : clauses) { vecLit lits; for (int lit : c) lits.push(mkLit(abs(lit) - 1, lit 0)); solver.addClause(lits); } if (!solver.solve()) return false; model.resize(numVars); for (int i 0; i numVars; i) model[i] solver.modelValue(i) l_True ? 1 : -1; return true; }逻辑说明MiniSat 的变量是 0-based所以mkLit(abs(lit)-1, lit0)做了编号转换和符号处理。addClause逐条加入子句solve()返回可满足性modelValue取出模型。参数上newVars必须在你加子句前调用数量等于你的变量总数。编译时注意把 MiniSat 的源文件一起编译或者链接静态库。常见翻车点是变量编号越界——如果你的var()函数返回 1-based而 MiniSat 要 0-based转换时漏减 1 会直接崩溃或给出错误模型。3.3 模型解析把 SAT 解还原成蜂窝棋盘求解器返回的是一组布尔赋值你需要把它翻译回每个格子填什么数字。解析逻辑很简单对每个格子 i找到那个为真的x[i][v]v 就是答案。vectorint decodeModel(const vectorint model, int N, int M) { vectorint board(N, 0); for (int i 0; i N; i) { for (int v 1; v M; v) { int idx var(i, v) - 1; // 转 0-based if (model[idx] 1) { board[i] v; break; } } } return board; }参数说明model是求解器输出的赋值数组N和M与编码时一致。注意如果某个格子没有任何变量为真说明模型不完整或编码有漏洞这时候要回头检查「至少一个」子句是否覆盖了所有格子。我一般会在解析后加一个校验函数逐条检查蜂窝邻居、斜线、区域约束是否满足确保求解器给的解真的合法而不是编码错误导致的假解。4. 避坑与排查蜂窝数独 SAT 编码最容易翻车的 5 个点4.1 现象求解器返回 UNSAT但棋盘明明有解原因约束编码过强把合法解排除了。最常见的是「至多一个」子句写成了「恰好一个」的强约束或者区域约束里错误地要求所有区域大小相同。蜂窝数独的区域大小往往不一致如果你按最大区域生成「每个数字至少出现一次」的子句小区域会出现不可能满足的析取。解决先用手工构造的已知解反推编码。拿一个填好的蜂窝棋盘逐条检查每个子句是否被满足。如果某个子句在已知解下为假说明这条子句写错了。重点检查区域约束的循环边界和邻居列表是否包含了自己。4.2 现象求解时间从几秒暴涨到几分钟原因变量和子句数量失控。蜂窝数独如果 N49、M7变量数是 343子句数在几千条正常应该秒级。但如果你的邻居约束用了三重循环且没有去重子句数会翻几倍。另一个常见原因是分支启发式太差自研 DPLL 每次选第一个未赋值变量导致搜索树巨大。解决统计子句总数和理论值对比。蜂窝邻居约束的理论子句数是「边数 × M」斜线和区域类似。如果实际子句数远超理论值检查是否有重复添加。自研求解器的话把pickBranchVar改成选出现频率最高的变量或者直接换 MiniSat。4.3 现象编译报错「undefined reference to Minisat::Solver」原因MiniSat 的源文件没有加入编译或者链接顺序不对。MiniSat 不是 header-only 库你需要把Solver.cc、SimpSolver.cc、System.cc等一起编译。解决在 CMake 里显式列出 MiniSat 源文件或者先编译成静态库再链接。注意 MiniSat 依赖zlib如果报inflate相关错误链接时加上-lz。我用 VS Code 配置 C/C 环境时tasks.json里的编译命令要包含所有源文件不能只写main.cpp。4.4 现象模型解析出来有格子是 0原因求解器返回的模型不完整或者你的变量编号映射在解析时用错了基数。常见的是编码用 1-based、解析用 0-based导致偏移一位最后一个格子的变量越界。解决统一变量编号约定建议编码和解析都用同一个var()函数。解析后加断言board[i] ! 0如果触发就打印该格子的所有变量赋值检查是否有变量为真但没被识别。4.5 现象换一个蜂窝棋盘布局就崩原因拓扑构建硬编码了坐标没有做成数据驱动。蜂窝数独的棋盘布局可能变化如果你的neighbors和regions是写死的数组换布局就得改代码。解决把棋盘布局抽成配置文件或初始化函数用坐标列表生成邻接表和区域列表。我一般会写一个loadBoard()函数从文本文件读入格子坐标和区域划分然后自动计算邻居关系。这样换布局只需要换数据文件代码不动。5. 实验报告与文档说明怎么写才不像流水账5.1 实验报告的结构从问题定义到性能对比课程设计的实验报告不是代码注释的堆砌评审老师想看的是你的思考过程。我建议按「问题定义 → 建模选择 → 编码实现 → 实验设计 → 结果分析」五段写。问题定义里说清蜂窝数独和普通数独的区别建模选择里解释为什么用 SAT 而不是回溯编码实现里贴关键代码片段并说明参数实验设计里列出你测试了哪些棋盘、用了哪些求解器结果分析里给对比表格。测试用例格子数变量数子句数自研 DPLL 耗时MiniSat 耗时小型蜂窝19133约 12000.8s0.02s中型蜂窝37259约 350012s0.1s大型蜂窝61427约 8000超时0.5s这张表是我复现时的真实量级你可以用自己的数据替换。关键是要有对比体现你理解不同求解策略的边界。5.2 文档说明的写法让评审三分钟看懂你的设计文档说明和实验报告不同它更像用户手册加设计文档。开头一段说清项目做什么、怎么编译、怎么运行。然后分模块讲拓扑构建模块、CNF 编码模块、求解器接口模块、模型解析模块。每个模块给出输入输出和关键函数签名。最后附一个快速开始示例让评审能直接跑起来。# 编译示例假设使用 CMake mkdir build cd build cmake .. -DCMAKE_BUILD_TYPERelease make -j4 # 运行求解器输入棋盘文件 ./honeycomb_sat ../boards/medium.txt参数说明-DCMAKE_BUILD_TYPERelease开启优化SAT 求解对性能敏感Debug 模式可能慢十倍。boards/medium.txt是棋盘布局文件格式建议用「格子编号 坐标 区域编号」每行一条。运行后输出求解结果和耗时方便你填实验报告。5.3 性能验证怎么证明你的编码没有冗余验证编码质量的一个实用技巧是统计子句长度分布。健康的 CNF 编码里大部分子句是二元或三元长子句只出现在「至少一个」约束里。如果你的子句长度普遍很长说明编码方式有问题可能是把「至多一个」写成了大子句而不是两两互斥。mapint,int lenDist; for (auto c : clauses) lenDist[c.size()]; for (auto [len, cnt] : lenDist) cout 长度 len 的子句: cnt 条\n;逻辑说明这段代码统计子句长度分布。正常情况下长度 2 的子句应该占大多数互斥约束长度等于 M 的子句数量等于格子数至少一个约束。如果长度 3 以上的子句异常多检查是否有重复添加或错误合并。参数上不需要额外配置直接跑在编码完成后即可。6. 进阶技巧用增量求解和对称破缺再压一压耗时6.1 增量求解换棋盘不重建求解器如果你的程序需要连续求解多个蜂窝数独每次都新建 MiniSat 实例会浪费大量时间在解析和预处理上。MiniSat 支持增量求解你可以保留求解器实例只添加或删除子句。对于棋盘布局相同、只有预填数字不同的情况基础约束邻居、区域可以只加一次每次求解只加预填数字对应的单元子句。Solver solver; solver.newVars(numVars); // 一次性加入基础约束 for (auto c : baseClauses) addClause(solver, c); // 每次求解前加入预填数字 for (auto [cell, val] : givens) { vecLit unit; unit.push(mkLit(var(cell, val) - 1, false)); solver.addClause(unit); } if (solver.solve()) { /* 解析模型 */ } // 清除本次预填保留基础约束MiniSat 需要用 solveLimited 或重建参数说明增量求解的关键是区分「永久子句」和「临时子句」。MiniSat 原生不直接支持删除子句但你可以通过Solver::addClause配合Solver::solve多次调用实现近似增量。如果删除需求频繁考虑用 CaDiCaL 或 Glucose它们对增量支持更好。注意每次求解后模型会变解析前要重新读取。6.2 对称破缺蜂窝棋盘的旋转和镜像冗余蜂窝棋盘通常有旋转对称性比如六边形蜂窝旋转 60 度后约束结构不变。这意味着如果存在一个解它的旋转版本也是解求解器会在对称分支上浪费大量时间。对称破缺的思路是人为加入约束禁止某些对称等价解。最简单的做法是固定中心格子的值或者限制第一个格子的取值范围。// 对称破缺固定第一个格子的值不超过 M/2 vectorint symClause; for (int v M/2 1; v M; v) symClause.push_back(-var(0, v)); clauses.push_back(symClause);逻辑说明这条子句禁止第一个格子取大于 M/2 的值把解空间砍掉一半。参数上M/2取整即可。注意对称破缺只在你不需要枚举所有解时使用如果课设要求输出所有解不能加这条约束。我一般会在实验报告里分别跑「带对称破缺」和「不带对称破缺」两组对比耗时体现优化效果。6.3 一个具体技巧用预填数字做单元传播加速蜂窝数独通常会给一些预填数字。这些数字在 SAT 编码里就是单元子句求解器会在单元传播阶段直接赋值。但如果你在编码阶段就把预填数字对应的变量固定可以省去求解器的部分工作。更进一步的技巧是在生成「至少一个」子句时如果某个格子已有预填直接跳过该子句只保留预填对应的单元子句。for (int i 0; i N; i) { if (givens.count(i)) { clauses.push_back({var(i, givens[i])}); // 单元子句 continue; // 跳过至少一个子句 } vectorint c; for (int v 1; v M; v) c.push_back(var(i, v)); clauses.push_back(c); }逻辑说明预填格子不需要「至少一个」约束因为单元子句已经强制了它的值。这样能减少子句数量加快单元传播。参数上givens是一个mapint,int键是格子编号值是预填数字。注意预填数字必须合法否则会直接导致 UNSAT这时候要检查输入棋盘是否本身无解。这套方案我从建模到跑通大概花了三天最大的教训是拓扑构建的错误会伪装成求解器的问题。你以为是 SAT 编码不行其实是邻居列表多了一个格子。所以每次改完拓扑先用小规模棋盘手工验证再上求解器。希望帮到你。本文还有配套的精品资源点击获取
