简介面向高校数学建模参赛者与自动驾驶入门学习者的赛题解析文档聚焦2022年MathorCup挑战赛C题“自动泊车问题”。内容围绕阿克曼转向车辆参数展开逐问梳理最小转弯半径与直线加速距离的计算、从车库入口到垂直、平行及45°倾斜车位的泊车轨迹建模以及车位随机占用条件下的最优车位选择与实时路径仿真涉及动力学约束、路径规划、碰撞规避和算法复杂度分析。压缩包仅含1个PDF文件大小约2.07MB便于在电脑或平板上直接查阅适合赛前研读与专题复盘。目前已有1230人学习可作为参赛队理解题意、搭建模型框架和核对关键参数的参考资料。1. 停车这件事最后卡住的不是算法而是几何把车塞进一个只比车身长一米的平行车位人类司机平均要来回调整两把换成数学语言这道题的难度不在“找一条路”而在“车根本转不了那么急”。给定轴距 2.8 米、方向盘最大转角 470°、方向盘与前轮 16:1 的传动比前轮的最大摆角就只有 29.375°最小转弯半径因此被限制在 4.97 米。这个数字一出来停车场的几何可行性就基本确定了有些车位不是算法不够聪明进不去而是物理上就进不去。一份数学建模赛题把自动泊车拆成四个递进的问题问的其实是同一件事——几何给出的边界在哪规划能在边界内争取到多少余量以及在车位随机被占的现实里这份余量还够不够用。搞懂这条链条比背十个路径规划算法名有用得多。2. 转向几何4.97 米的转弯半径是怎么算出来的为什么它决定了一切2.1 为什么控制点一定要选在后轴中心运动学建模第一步是选控制点也就是“用哪个点代表整辆车”。赛题里明确假设控制点位于车身对称轴上的后轴中心这不是为了简化而简化而是因为只有这个点的速度方向恒等于车头朝向。换成质心或前轴速度方向与车身纵轴之间会多出一个角度项倒车时符号还要再翻一次稍不留神整条轨迹就跑偏了。把后轴中心记作 $(x, y)$车头朝向记作 $\theta$前轮转角记作 $\delta$车速记作 $v$带符号前进为正、倒车为负运动学方程就是标准的自行车模型$$ \dot{x} v\cos\theta,\quad \dot{y} v\sin\theta,\quad \dot{\theta} \frac{v\tan\delta}{L} $$其中 $L2.8,\text{m}$ 是轴距。第三个式子是全篇的地基车头转得多快只取决于车速、前轮转角和轴距三个量。它同时告诉你一件反直觉的事——车停着不动时$v0$方向盘打多少度车身朝向都不会变。所有“原地打方向”的操作在运动学模型里都是无效动作必须先动起来才有转向。提示倒车时 $v0$$\dot\theta$ 会自动反号这正是倒车打方向“车尾跟着方向盘走”的数学来源。如果代码里把 $v$ 取了绝对值倒车段的轨迹会画成车在横着平移。2.2 把方向盘转角翻译成曲率4.97 米的完整推导方向盘最大转角 470°传动比 16:1前轮最大摆角就是 $470/16 29.375°$。由自行车模型后轴中心走过的圆弧半径 $R L/\tan\delta$把 $\delta$ 取到最大值即可$$ R_{\min} \frac{2.8}{\tan 29.375°} \approx 4.97\ \text{m},\qquad \kappa_{\max} \frac{1}{R_{\min}} \approx 0.201\ \text{m}^{-1} $$这段计算本身就是问题 1 的第一问但真正有用的是它衍生出的两个量车身外廓扫掠半径和内后轮的转弯半径。前者决定通道要多宽后者决定贴着障碍物转弯时车尾会不会蹭上去。import math L 2.8 # 轴距 m W 1.8 # 车宽 m LEN 4.9 # 车长 m TRACK 1.7 # 轮间距 m SW_MAX 470.0 # 方向盘最大转角 deg RATIO 16.0 # 方向盘 : 前轮 16 : 1 SW_RATE 400.0 # 方向盘最大转速 deg/s V_MAX 20.0 / 3.6 # 前进限速 20 km/h - m/s delta_max math.radians(SW_MAX / RATIO) # 前轮最大转角 rad R_min L / math.tan(delta_max) # 后轴中心最小转弯半径 m kappa_max math.tan(delta_max) / L # 最大曲率 1/m # 外廓扫掠半径后轴中心距转弯圆心 R_min车身最远角点再叠加 # 横向 W/2 与纵向前悬 lf题目未给前悬此处按 1.0 m 估计 lf 1.0 R_out math.hypot(R_min W / 2, lf) R_in_rear R_min - TRACK / 2 # 后内轮的转弯半径贴边判断用它 print(f前轮最大转角 {math.degrees(delta_max):.3f} deg) print(f最小转弯半径 {R_min:.3f} m最大曲率 {kappa_max:.4f} 1/m) print(f外廓扫掠半径 {R_out:.3f} m后内轮半径 {R_in_rear:.3f} m)跑出来是前轮最大转角 29.375°最小转弯半径 4.973 m最大曲率 0.2011 m⁻¹外廓扫掠半径约 5.96 m后内轮半径约 4.12 m。外廓扫掠半径 5.96 米这个数直接换算成“垂直车位前的通道至少要多宽”——通道比它窄一把方向打满也会蹭到对面车位里的车只能靠多把来回。这就是几何给规划器定的先天上限。2.3 曲率对弧长的变化率为什么高速转弯不能猛打方向问题 1 的第三问最容易读漏车速 20 km/h 时开始转弯路径曲率相对路径长度的变化率有什么限制。这不是文字游戏它问的是 $|\mathrm{d}\kappa/\mathrm{d}s|$ 的上界而这个上界由方向盘转速反向推导出来。方向盘最大转速 400°/s除以传动比前轮转速上限是 25°/s即 $0.4363\ \text{rad/s}$。曲率 $\kappa \tan\delta / L$对 $\delta$ 求导得 $\mathrm{d}\kappa/\mathrm{d}\delta \sec^2\delta / L$于是$$ \left|\frac{\mathrm{d}\kappa}{\mathrm{d}t}\right| \frac{\sec^2\delta}{L}\cdot\left|\frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}t}\right|, \qquad \left|\frac{\mathrm{d}\kappa}{\mathrm{d}s}\right| \frac{1}{v}\left|\frac{\mathrm{d}\kappa}{\mathrm{d}t}\right| $$代入 $\delta 0$ 得 0.1558 m⁻¹·s⁻¹代入 $\delta 29.375°$ 得 0.2053 m⁻¹·s⁻¹。在 $v 5.556\ \text{m/s}$ 下$|\mathrm{d}\kappa/\mathrm{d}s|$ 的上界落在 0.028 到 0.037 m⁻² 之间取最保守的满舵值0.037 m⁻²。这个式子最有价值的地方在于那个 $1/v$车速越低允许的曲率变化率越大。泊车时倒车限速 10 km/h2.778 m/s同样的方向盘转速能换来两倍的 $\mathrm{d}\kappa/\mathrm{d}s$这就是为什么低速时车看起来可以“贴着弯走”而高速变道必须提前几十米缓慢打方向。很多规划器只看曲率上界不看变化率上界生成的轨迹在纸面上无碰撞实际跟踪时方向盘根本转不过来误差越积越大最后贴着车位柱子停下。3. 加加速度速度规划里最容易被当成“软约束”放过去的那条线3.1 从 0 加速到 20 km/h 到底要几米问题 1 的第二问是纯动力学加速度上限 3.0 m/s²加加速度上限 20 m/s³ 时直线加速到 20 km/h 的最短距离。如果完全无视 jerk直接套 $s v^2/(2a)$$$ s \frac{5.556^2}{2\times 3.0} \approx 5.14\ \text{m} $$加上 jerk 约束后要分三段加速度从 0 以 20 m/s³ 爬升到 3.0用时 0.15 s这段只走 0.011 m、恒加速段、再以 $-20$ m/s³ 把加速度降回 0又 0.15 s。三段拼起来总距离约 5.56 m比无视 jerk 多出约 0.42 m增幅 8%。如果只要求起点加速度为 0、终点不管那就只有前两段距离约 5.15 m和无约束几乎没差。**这个对比说明一件事jerk 约束的代价不在加速段本身而在于你是否要求加速度连续回到零。**要求了每个加速段的末尾都要多付一小段“收油”的距离和时间不要求规划器给出的速度曲线在段与段衔接处就会出现加速度阶跃实车上表现为一顿一冲。3.2 S 型速度廓形把 jerk 写进约束里再求解梯形速度廓形加速-匀速-减速是绝大部分人第一版会写的东西它在加速度层面连续、在 jerk 层面是无穷大脉冲。想满足 jerk 约束就得换成 S 型廓形加速度本身也是一个梯形。下面这段代码给定总位移和各项限值反解出七段式廓形的时间参数是赛题里生成速度曲线的通用骨架def s_curve_times(dist, v_max, a_max, j_max): 七段式 S 型廓形jerk 上升/恒 a/ jerk 下降 各两次中间可插匀速段 t_j a_max / j_max # jerk 段时间 v_j 0.5 * a_max * t_j # 单个 jerk 段的速度增量 s_j a_max * t_j ** 2 / 6 # 单个 jerk 段的位移 # 达到 v_max 所需的最短位移不含匀速段 v_peak min(v_max, 2 * v_j a_max * 0) # 先按纯 S 型估峰值 s_min 2 * s_j a_max * t_j ** 2 # 约等于升速到位所需位移 if dist s_min: # 距离太短达不到 v_max需反解峰值速度 return None t_a (v_max - 2 * v_j) / a_max # 恒加速段时长 s_a v_max * t_a - 0.5 * a_max * t_a ** 2 2 * v_j * t_a return t_j, t_a def speed_profile(dist, v_max, a_max, j_max, dt0.01): 按时间步长采样返回 t / s / v / a / jerk 五条曲线 t_j a_max / j_max v_hold 0.5 * a_max * t_j # jerk 段带来的速度增量 # 三段加速 匀速 三段减速总时间由距离反解 t_acc (v_max - 2 * v_hold) / a_max # 恒加速段 s_acc 2 * (a_max * t_j ** 2 / 6) v_hold * t_acc 0.5 * a_max * t_acc ** 2 t_flat max(0.0, (dist - 2 * s_acc) / v_max) return t_j, t_acc, t_flat # 后续按这五个参数分段积分即可两个函数里关键是t_j a_max / j_maxjerk 越大、加速度越小这段“爬坡”越短。给定 3.0 m/s² 和 20 m/s³它就是 0.15 s正好对应上面那段手算。参数改动时这个比例关系要保持——把 a_max 提到 4.0 而 j_max 不变t_j 变成 0.2 s单个 jerk 段的位移按 $jt^3/6$ 涨到 0.027 m收油距离翻了一倍多。注意赛题原文写的是“加加速度不超过 20 m/s³ 为宜”属于软约束。但速度平滑性本身是评分项软约束在结果里翻车的概率一点不比硬约束低。3.3 减速带与限速区间点约束和区间约束的区别停车场里最容易被做错的一条是“黄色减速带前后 5 m车速不超过 10 km/h”。很多人把它当成了一个点减速带中心处速度降到 2.778 m/s。可题目说的是前后各 5 m 的区间一共 10 m 的走廊里全程限速。正确做法是把限速约束写成沿路径弧长的分段函数速度规划器在每个采样点上检查区间归属$$ v_{\max}(s) \begin{cases} 2.778 s \in [s_b - 5,\ s_b 5] \ 5.556 \text{其它前进} \ 2.778 \text{倒车段} \end{cases} $$这里有个容易被忽略的耦合减速需要距离。从 5.556 m/s 以 $-6.0$ m/s² 刹到 2.778 m/s需要 $(5.556^2-2.778^2)/(2\times6.0) \approx 1.93$ m。这 1.93 m 必须落在减速带前 5 m 的缓冲区里否则就会出现“刚进限速区还在刹车”的违规。如果车位离减速带很近缓冲距离不够就得在更靠前的位置提前降速甚至牺牲总时间。这类约束冲突在手工拼曲线时几乎必然出现用分段优化求解反而更快收敛。4. 车位几何建模垂直、平行、45° 倾斜三种车位为什么难度完全不同4.1 车体矩形与位姿变换控制点不是车轨迹规划给出的是控制点后轴中心的序列但碰撞检测必须拿整个车身矩形去判断。这两个概念混在一起是“仿真通过、实车蹭漆”的头号原因。车身在局部坐标系里是一个以控制点为参考的矩形横向 $\pm W/2 \pm 0.9$ m纵向从前悬到后悬。题目给车长 4.9 m、轴距 2.8 m前后悬合计 2.1 m具体怎么分配原文没写取前悬 1.0 m、后悬 1.1 m 是个合理估计。给定位姿 $(x, y, \theta)$四个角点就是局部坐标乘旋转矩阵再平移到世界系import numpy as np LEN, WID, LF 4.9, 1.8, 1.0 # 车长、车宽、前悬估 def body_corners(x, y, theta): 后轴中心位姿 - 车体四角点局部系 x 向前、y 向左 local np.array([ [ LF, WID / 2], # 右前 [ LF, -WID / 2], # 左前 [-(LEN - LF), -WID / 2], # 左后 [-(LEN - LF), WID / 2], # 右后 ]) c, s np.cos(theta), np.sin(theta) R np.array([[c, -s], [s, c]]) return local R.T np.array([x, y])local R.T的写法等价于先把每个点做旋转再平移注意旋转矩阵用的是转置右乘而不是左乘因为这里是以行向量批量处理四个点。写错成R local时前两个角点还能对上后面两个会镜像到车身另一侧碰撞检测看起来“时好时坏”非常难查。4.2 分离轴定理矩形对矩形碰撞检测的最小实现停车场里的障碍物被占车位上的车、禁行区、围墙可以全部近似成矩形矩形对矩形的相交判定用分离轴定理SAT就够了四个轴两个矩形的各两条边法向。只要在任意一个轴上两个矩形的投影区间不重叠就判定不相交。def sat_overlap(poly_a, poly_b, eps1e-9): 两个凸多边形是否相交矩形只需检查自身两条边法向即可 for poly in (poly_a, poly_b): for i in range(len(poly)): edge poly[(i 1) % len(poly)] - poly[i] axis np.array([-edge[1], edge[0]]) n np.linalg.norm(axis) if n eps: continue axis / n pa, pb poly_a axis, poly_b axis if pa.max() pb.min() - eps or pb.max() pa.min() - eps: return False # 找到分离轴立即判不相交 return True这段代码只做相交判定实际规划时还要留安全余量。常见的两种做法一是把障碍矩形按车身外接圆半径向外膨胀保守但简单代价是窄车位会被判成不可通行二是把车体矩形缩小一圈每边缩 0.1 m再判定等价于给轨迹留 10 cm 余量。前者安全但会误杀可行解后者可行但对控制误差容忍度低取舍要看定位精度。还有一件事 SAT 本身不解决离散采样导致的穿透。轨迹按 0.2 m 步长采样做碰撞检测两个采样点之间车身可能刚好扫过墙角。圆弧段的扫掠面积最大步长要压到 0.05 m 以下或者对相邻位姿之间做连续碰撞检测。4.3 三种车位的进入结构单圆弧、两段圆弧、斜向切入题目指定了 10 号垂直车位、82 号平行车位、31 号 45° 倾斜车位三种场景它们的难度差异全在几何上。垂直车位是最简单的从通道驶过车位车头对准车位中线后倒车进入路径基本是一段圆弧接一段直线。约束主要来自通道宽度——前面算出的外廓扫掠半径 5.96 m 意味着通道窄于这个量级时一把倒不进去必须前进调整一次再倒。车宽 1.8 m、车位宽按常见的 2.5 m 算单侧余量 0.35 m这个余量对控制精度要求很高轨迹末端最好让车身与车位中线夹角小于 5°。平行车位是最难的车位长按 6.0 m 算车长 4.9 m前后总共只有 1.1 m 的操作空间。可行路径的典型结构是“前进到前车侧方 → 打满方向倒车走第一段圆弧 → 反向打满走第二段圆弧 → 直线微调”。两段圆弧相切切点处曲率从 $0.201$ 直接跳到 $-0.201$跳变幅度 0.402 m⁻¹——这是全篇所有轨迹里最猛烈的一次曲率突变。实车在这里必须停车换挡、原地打方向或者插入一段回旋线把曲率过渡开。后者的代价是每段回旋线要多吃掉十厘米量级的纵向空间车位余量只有 1.1 m 时几乎塞不下。45° 倾斜车位介于两者之间车位与通道成 45°泊入后车头朝向也必须是 45°路径是单段圆弧接斜向直线。因为有效进入角比垂直车位小了 45°所需通道宽度明显下降一次倒入的概率高很多但它对末端的角度误差更敏感——垂直车位停歪一点还能靠倒车修正斜车位停歪了车头会顶出车位线。5. 避坑泊车建模里最容易出问题的五个地方5.1 五条典型问题的现场记录第一条仿真图看着能过实车贴边。现象是把轨迹画在停车场平面图上视觉上留了不少空隙但按车宽一算最窄处只剩几厘米。原因是碰撞检测只拿了后轴中心这一个点去和障碍物比距离。解决办法是把检测对象换成body_corners返回的四个角点构成的矩形配合 SAT并且把采样步长压到 0.05 m 以内圆弧段再加密。第二条轨迹曲率突变方向盘跟不上。现象是路径由直线段和圆弧段硬拼接而成曲率在连接点从 0 直接跳到 0.201 m⁻¹。这违反了第 2 章推出的 $|\mathrm{d}\kappa/\mathrm{d}s| \le 0.037\ \text{m}^{-2}$。原因在于规划器只约束了曲率幅值没约束变化率。解决办法是在曲率不连续处插入回旋线或者干脆用五次多项式参数化整条路径让曲率本身连续可导验证阶段则要沿弧长数值微分 $\kappa(s)$逐点检查跳变幅度。第三条减速带限速区间被当成了点。现象是速度曲线只在减速带中心那一瞬间降到 10 km/h两侧立刻弹回 20 km/h。原因在于把“前后 5 m”这一区间约束退化成了单点约束。解决办法是把限速写成沿弧长的分段函数并预留刹车距离——从 20 km/h 降到 10 km/h 至少需要 1.93 m这段必须落在缓冲区内部。第四条倒车段轨迹画出来车在横着走。现象是倒车段的朝向曲线和位移曲线对不上车头朝北但车在往东平移。原因是把速度取了绝对值或者把 $\dot\theta$ 里的 $v$ 符号丢了。在自行车模型里 $v$ 必须是带符号的倒车时 $v0$$\dot\theta$ 自动反向。绘图和插值时统一用有符号速度就不会出现这种自相矛盾的图。第五条最优车位选出来需要来回调整五把。现象是按“离我最近”排序排第一的车位实际要揉五把才能进去。原因是代价函数只有路径长度一项缺了泊入难度的度量。解决办法是至少在代价里加三项路径长度、预估车辆换向次数、车位类型偏好垂直比平行容易。这三项的权重怎么定见最后一章。5.2 提交前的一组自检上面五条对应的检查可以固化成一个清单每次生成轨迹后机械地跑一遍比肉眼盯图靠谱得多检查项判据不通过时的处置曲率变化率$\max|\mathrm{d}\kappa/\mathrm{d}s| \le 0.037$插回旋线或降低车速重规划速度上限前进 ≤ 5.556倒车 ≤ 2.778 m/s裁剪速度廓形峰值减速带区间前后 5 m 内 $v \le 2.778$前移减速起点重算刹车距离碰撞沿轨迹每 0.05 m 做一次 SAT收缩搜索步长或换路径族加速度连续性$\max|a(t_{i1}) - a(t_i)| / \Delta t \le 20$检查是否漏了 jerk 收油段这张表的每一项都能直接从第 2、3 章的公式抄下来不用另设标准。真正容易忽略的是最后一项加速度连续性检查要用规划器输出的原始时间序列去算而不是拿规划器的内部参数自证——参数写对了但插值实现错了的情况并不少见。6. 代价函数与复杂度为什么最后要主动放弃一部分最优性问题 3 和问题 4 把静态几何变成了一个搜索问题N 个候选车位每个都要算一条可行轨迹还要在车位被随机占用释放时重新决策。这里的设计取舍比几何计算微妙得多。按“每个车位完整规划一次再比较”这套做法N 取 100、单次规划 0.2 s一轮决策要 20 s车早开过入口了。而按每小时进出各 30 辆估计全库的事件到达率约 0.0167 次/秒10 秒窗口内目标车位状态发生变化的概率约 15%——也就是说重规划窗口本来就只有十来秒根本容不下全量搜索。所以合理的结构是分层的先用欧氏距离加车位类型偏好粗筛出前 5 个候选这一步是 O(N) 的标量运算几十微秒再对候选做完整规划最后用代价函数定序。$$ J w_1 L_{\text{path}} w_2 T_{\text{est}} w_3 n_{\text{shift}} w_4 p_{\text{type}} w_5 (1 - p_{\text{free}}) $$策略决策耗时N100最优性适用场景全量规划比较≈ 20 s全局最优离线验证、评测距离粗筛 前 k 精规划≈ 1 s近似最优在线决策主力只取最近一个≈ 0.2 s常常局部最优车位宽松、不拥堵我一般的取舍是$w_1$ 和 $w_3$ 给大权重因为多倒一把的时间成本远高于多开十米$w_5$ 用泊松模型实时更新——单个车位在 $\Delta t$ 内被占用的概率约 $1-e^{-\lambda \Delta t}$$\lambda$ 取 1/120 每秒规划窗口 10 s 时这个概率约 8%一旦目标车位落入这个风险区间就提前触发重规划。多加一次重规划只花 1 s赌它不被占用却可能让车白跑一趟。真正需要接受的现实是在线泊车系统的最优性是买来的不是算出来的。把搜索半径从 100 个车位砍到 5 个理论上会丢掉全局最优解但换回来的是 20 倍的时间余量这笔交易在任何实时系统里都划算。我头几年做这类题总想把每个车位的完整轨迹都算出来再比结果仿真跑得漂亮、一加上随时间变化的占用状态就彻底跑不动。从那以后我每次动手前都先把决策时间预算写死在最上面再倒推能搜几个车位、规划器允许迭代多少次宁可少搜几个也不让单帧决策超过预算。希望这套思路能帮到你——这份赛题资源里的原始模型和参数表值得逐条对着算一遍尤其是那几个约束边界自己手推过和只看结论理解深度完全不是一回事。本文还有配套的精品资源点击获取
