龙格现象：采样点误差为零，插值曲线却给出了不可能的值

一、问题的提法：不比误差，比值域用一条高次多项式精确穿过一排等间距的采样点，点越多，曲线在两端甩得越厉害。这是龙格现象（Runge's phenomenon）的一句话版本。但要把它变成一条能写进代码评审的判据，还差一步。常见的讨论方式是「误差有多大」——误差 1.9 听起来还能接受，误差 0.05 就很好。但「多大算大」永远可以争论，不同项目、不同量纲的标准都不一样。本文换个角度：只看值域。曲线有没有跑到函数根本不可能到达的地方去？这个提法的好处是，它把问题从「定量比较」变成了「定性判定」：越界与否是一个布尔答案，不需要约定阈值，也不需要争论。二、先给真函数划一把尺子Runge 1901 年用的经典函数是：f(x) = 1 / (1 + 25x²), x ∈ [-1, 1]在动手插值之前，先把它的值域算出来。这一步不是形式主义，它给了我们一把尺子。位置值x = 0（峰顶）1x = ±0.5≈ 0.138x = ±1（最低）1/26 ≈ 0.0385