【概率论与数理统计】练习题

文章目录一. 概率论的基本概念二. 随机变量及其分布三. 大数定律与中心极限定理四. 参数估计一. 概率论的基本概念掷一枚硬币5次出现正面向上次数多于反面向上次数的概率为A.15 16 \frac { 1 5 } { 1 6 }1615​B.11 32 \frac { 1 1 } { 3 2 }3211​C.1 2 \frac { 1 } { 2 }21​D.3 8 \frac { 3 } { 8 }83​一批零件共有100个其中共有10个不合格品。从中一个一个取出求第3次才取得不合格品的概率是多少保险公司认为某险种的投保人可以分成两类一类为容易出事故者另一类为安全者统计表明一个易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4而安全者这个概率则减少为0.1若假定第一类人占此险种投保人的20现有一个新的投保人来投保此险种问该投保人在购买保单一年内出事故的概率有多大袋中有20只红球和30只白球现有两人随机从袋中各取一球取后不放回。则第二个人取得红球的概率是多少有两个盒子第一个盒子中装有2个红球1个白球第二个盒子中装一半红球一半白球。现从两盒中各取一球放在一起再从中取一球问。1这个球是红球的概率2若发现这个球是红球问第一盒取出的球是红球的概率。假设有两箱同种零件第一箱内装n件一等品。第二箱内装m件其中仅有一件一等品mn均大于2。现从两箱中随机挑出一箱然后从该箱中随机取出两个零件取出的零件不放回求1先取出的零件是一等品的概率p2在先取出的零件是一等品的条件下第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q为从2个次品、8个正品的10个产品中将2个次品挑出随机地逐个进行测试则不超过4次测试就能把2个次品挑出的概率是多少共有10个座位的小会议室内随机坐6名与会者则指定的4个座位被坐满的概率是多少二. 随机变量及其分布1设X 1 , X 2 , X 3 X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 }X1​,X2​,X3​是随机变量且X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) X 2 ∼ N ( 0 , 2 2 ) , X 3 ∼ N ( 5 , 3 2 ) , p i P { − 2 ≤ X i ≤ 2 } ( i 1 , 2 , 3 ) X _ { 1 } \sim N ( 0 , 1 )X _ { 2 } \sim N ( 0 , 2 ^ { 2 } ) ,X _ { 3 } \sim N ( 5 , 3 ^ { 2 } ),p _ { i } P \{ - 2 \leq X _ { i } \leq 2 \}( i 1 , 2 , 3 )X1​∼N(0,1)X2​∼N(0,22),X3​∼N(5,32),pi​P{−2≤Xi​≤2}(i1,2,3)则A.p 1 p 2 p 3 p _ { 1 } p _ { 2 } p _ { 3 }p1​p2​p3​B.p 2 p 1 p 3 p _ { 2 } p _ { 1 } p _ { 3 }p2​p1​p3​C.p 3 p 1 p 2 p _ { 3 } p _ { 1 } p _ { 2 }p3​p1​p2​D.p 1 p 3 p 2 p _ { 1 } p _ { 3 } p _ { 2 }p1​p3​p2​设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布已知该时段内没有汽车通过的概率为则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为1 e \frac { 1 } { e }e1​则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为____。设随机变量\xi在1,6上服从均匀分布则方程x 2 ξ x 1 0 x ^ { 2 } \xi x 1 0x2ξx10有实根的概率是____。设随机变量X ∼ U ( 2 , 5 ) X \sim U ( 2 , 5 )X∼U(2,5)现对X进行3次独立观测试求至少有两次观测值大于3的概率。设随机变量X ∼ U ( 0 , 1 ) X \sim U ( 0 , 1 )X∼U(0,1)则Y X 1服从分布_____。三. 大数定律与中心极限定理据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布现随机地取16只设它们的寿命是相互独立的求这16只元件寿命的总和大于1920h的概念。设各零件的重量都是随机变量它们相互独立且服从相同分布其数学期望为0 . 5 k g均方差为0.1kg问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件构成在整个运行期间每个部件损坏的概率是0.10为了使整个系统起作用至少必须有85个部件正常工作求整个系统起作用的概率。四. 参数估计1设总体X ∼ U ( 0 , θ ) , X 1 , X 2 , ⋯ , X n X \sim U ( 0 , \theta ),X _ { 1 } , X _ { 2 } , \cdots , X _ { n }X∼U(0,θ),X1​,X2​,⋯,Xn​是来自总体X的样本则参数0的短估计量θ ^ \hat { \theta }θ^,2设一批零件的长度服从正态分布N ( μ , σ 2 ) N ( \mu , \sigma ^ { 2 } )N(μ,σ2)其中μ , σ 2 \mu , \sigma ^ { 2 }μ,σ2均未知现从中随机抽取16个零件测得样本均值x20cm样本标准差S 1 ( c m )则μ的置信度为0.90的置信区间是A.( 20 − 1 4 t 0.05 ( 16 ) , 20 1 4 t 0.05 ( 16 ) ) ( 2 0 - \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 0 5 } ( 1 6 ) , 2 0 \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 0 5 } ( 1 6 ) )(20−41​t0.05​(16),2041​t0.05​(16))B.( 20 − 1 4 t 0.1 ( 16 ) , 20 1 4 t 0.1 ( 16 ) ) ( 2 0 - \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 1 } ( 1 6 ) , 2 0 \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 1 } ( 1 6 ) )(20−41​t0.1​(16),2041​t0.1​(16))C.( 20 − 1 4 t 0.05 ( 15 ) , 20 1 4 t 0.05 ( 15 ) ) ( 2 0 - \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 0 5 } ( 1 5 ) , 2 0 \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 0 5 } ( 1 5 ) )(20−41​t0.05​(15),2041​t0.05​(15))D.( 20 − 1 4 t 0.1 ( 15 ) , 20 1 4 t 0.1 ( 15 ) ) ( 2 0 - \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 1 } ( 1 5 ) , 2 0 \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 1 } ( 1 5 ) )(20−41​t0.1​(15),2041​t0.1​(15))3设x 1 , x 2 , ⋯ , x n x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n }x1​,x2​,⋯,xn​为来自总体N ( μ , σ 2 ) N ( \mu , \sigma ^ { 2 } )N(μ,σ2)的简单随机样本样本均值x ‾ 9.5 \overline { x } 9 . 5x9.5参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为4设总体X的概率分布为X0123pθ 2 \theta ^ { 2 }θ22 θ ( 1 − θ ) 2 \theta ( 1 - \theta )2θ(1−θ)θ 2 \theta ^ { 2 }θ21-2θ其中θ(0θ1/2)是未知参数利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3求θ的矩估计值和最大似然估计值。5在一批货物容量为100的样本中经检验发现有16只次品试求这些货物次品率为95的置信区间。