为什么他们俩的高度和宽度永远相等？

没关系抽象的代数和坐标对称确实比较容易让人绕晕。我们可以完全抛开复杂的数学公式和坐标轴用一个非常直观的**“双人跑步”**来想象这个过程。“双人对称跑步”模型想象操场上有一个完美的圆形跑道跑道上有两个非常关键的位置3 点钟方向这是最右边我们叫它“东起点”12 点钟方向这是最上面我们叫它“北起点”这两个起点之间正好相隔90∘90^\circ90∘。现在有两个人小正和小余同时在跑道上跑步他们跑的弧长角度θ\thetaθ完全一样小正从东起点出发往上跑逆时针跑了θ\thetaθ的距离。我们去量小正现在的高度距离地面的高低。根据定义高度就是sin⁡(θ)\sin(\theta)sin(θ)小余从北起点出发往右跑顺时针跑了同样的θ\thetaθ距离。因为他是从90∘90^\circ90∘位置“往回”跑了θ\thetaθ所以小余现在的位置角度就是90∘−θ90^\circ - \theta90∘−θ我们去量小余现在的宽度距离左右中线的宽窄。根据定义宽度就是cos⁡(90∘−θ)\cos(90^\circ - \theta)cos(90∘−θ)为什么他们俩的高度和宽度永远相等你可以在脑海中播放一下这个画面一个人从最右边东向上跑另一个人从最上面北向右跑。因为他们的起点相差90∘90^\circ90∘跑的距离又一模一样只是一个向上、一个向右。这两条跑步路线其实是完全对称的。当小正往上爬得越高时小余就往右走得越远。只要他们跑的距离θ\thetaθ一样小正现在的高度就一定等于小余现在的宽度。哪怕他们跑了很远甚至绕着圆圈跑了好多圈也就是角度θ\thetaθ变成了钝角、极大的角甚至负角这种“对称性”也永远不会被打破。把这句话翻译成数学语言就是小余的宽度小正的高度\text{小余的宽度} \text{小正的高度}小余的宽度小正的高度cos⁡(90∘−θ)sin⁡(θ)\cos(90^\circ - \theta) \sin(\theta)cos(90∘−θ)sin(θ)简单来说这个公式的核心直观含义就是从 12 点钟90∘90^\circ90∘往回跑θ\thetaθ的距离它产生的“左右偏离度 (cos⁡\coscos)”和从 3 点钟0∘0^\circ0∘往前跑θ\thetaθ的距离所产生的“上下偏离度 (sin⁡\sinsin)”是完全一样的。这就是为什么不论角度多大这个公式都一定成立的原因。