机械臂速成小指南（七）：机械臂位姿的描述方法

‍需要机械臂相关资源的同学可以在我的CSDN主页中寻找哦指南目录机械臂速成小指南零点五机械臂相关资源机械臂速成小指南零指南主要内容及分析方法机械臂速成小指南一机械臂发展概况机械臂速成小指南二机械臂的应用机械臂速成小指南三机械臂的机械结构机械臂速成小指南四机械臂关键部件之减速机机械臂速成小指南五末端执行器机械臂速成小指南六步进电机驱动器机械臂速成小指南七机械臂位姿的描述方法机械臂速成小指南八运动学建模标准DH法机械臂速成小指南九正运动学分析机械臂速成小指南十可达工作空间机械臂速成小指南十一坐标系的标准命名机械臂速成小指南十二逆运动学分析机械臂速成小指南十三轨迹规划概述机械臂速成小指南十四多项式插值轨迹规划机械臂速成小指南十五线性规划机械臂速成小指南十六带抛物线过渡的线性规划机械臂速成小指南十七直线规划机械臂速成小指南十八圆弧规划机械臂速成小指南十九机械臂的电路板抓取实验机械臂速成小指南二十机械臂的位姿重复性实验机械臂速成小指南二十一几何雅可比矩阵机械臂速成小指南二十二机械臂逆运动学的数值解方法机械臂速成小指南二十三Paul方法求解机械臂运动学逆解含matlab代码以下为正文六自由度机械臂上位机python代码带详细注释含正逆运动学及轨迹规划等https://download.csdn.net/download/m0_53966219/87521956?spm1001.2014.3001.5503六自由度机械臂下位机代码及pcb设计https://download.csdn.net/download/m0_53966219/88480657?spm1001.2014.3001.5503我认为机械臂的运动学分析就是为了解决两个问题如何通过各关节的旋转角度关节变量得到机械臂末端执行器的位姿如何通过机械臂末端执行器的位姿得到各关节的旋转角度关节变量在运动学分析的过程中我们仅研究机械臂的运动特性而不考虑使机械臂产生运动时力的大小以及机械臂本身的物理性质。因此我们将机械臂的各个部分视为刚体并分析机械臂的位姿、转动过程、角速度、角加速度等较复杂的运动特征。刚体Rigid body是指在运动中和受力作用后形状和大小不变而且内部各点的相对位置不变的物体。位姿即位置与姿态而准确、简洁地描述机械臂的位姿是对机械臂展开运动学分析的重要前提下面我们将分析描述机械臂下称刚体的位姿描述方法。注本章中所使用的画图软件为geogebra。一、刚体的位姿为了描述机器人的位置和姿态,需要建立坐标系。在机器人学中,通常采用笛卡尔坐标系(Cartesian Frame)就是常用的三轴正交坐标系。笛卡尔Rene Descartes,1596-1650是法国著名的哲学家、数学家、物理学家他创立了著名的平面直角坐标系使得几何形状可以用代数公式明确表达出来因将笛卡儿坐标体系公式化而被称为解析几何之父常用的直角坐标系也被称为笛卡儿坐标系在笛卡儿所处的时代拉丁文是通用的学术语言笛卡儿通常会在他的著作上签上他的拉丁名字 Renatus Cartesius而 Cartesian 是 Cartesius 的形容词形式所以他创立的直角坐标系被称为 Cartesian Frame。笛卡尔的姓 Descartes法语是由 des 和 Cartes 组成的复合词对应的英文是“of the Maps”这说明笛卡尔的祖先可能是从事地图绘制的。1.1 刚体的位置如下图所示设O-x0y0z0为一空间笛卡尔直角坐标系a0、b0、c0是平行于各坐标轴的单位向量O1为一刚体质心。刚体的位置点O相对于参考坐标系O-x0y0z0的位置可以表示为关系式式中o1x、o1y、o1z是向量o1∈R3在参考坐标轴上的分量。由此刚体质心O1相对于参考坐标系的位置可以表示为一个(3×1)向量该向量称为刚体的位置向量1.2 刚体的姿态为描述刚体在空间中的姿态设O1-x1y1z1为一空间笛卡尔直角坐标系且与刚体固连如下图所示。刚体的姿态其中a1、b1、c1是刚体坐标系的单位向量每一单位向量的分量都是刚体坐标系O1-x1y1z1的坐标轴相对参考坐标系O-x0y0z0的方向余弦。a1、b1、c1在参考坐标系O-x0y0z0可表示为综上刚体在空间中的位置可通过刚体上一点本文选择刚体的质心相对于参考坐标系的位置来表示而刚体在空间中的姿态可通过与刚体相固连的坐标系刚体坐标系原点同样选择刚体的质心相对于参考坐标系的单位向量的三个分量来表示。机械臂作为一开运动链其姿态为构成机械臂的所有连杆的姿态。二、旋转矩阵Rotation matrix上文中我们引出位置向量来描述刚体的位置那么我们选用什么来描述刚体的姿态呢2.1 基本旋转上述的刚体坐标系显然可由参考坐标系通过一系列的平移与旋转得到其中旋转过程可由1到3次的基本旋转组合而成。不妨令参考坐标系O-x0y0z0 绕z0 轴旋转角度α(α0) 得到坐标系O-x0y0z0 如下图所示参考坐标系绕坐标轴z0的基本旋转新坐标系O-x0y0z0 的各单位向量可通过其相对于参考坐标系O-x0y0z0 的分量来描述即从而我们可以得出新坐标系O-x0y0z0 关于参考坐标系O-x0y0z0 的旋转矩阵为旋转矩阵Rz描述了参考坐标系绕z0轴的旋转。同理将参考坐标系O-x0y0z0 绕y0 轴旋转角度β(β0) 以及将其绕x0 轴旋转角度γ(γ0) 的基本旋转可分别表示为所得到的新坐标系分别如图a以及图b所示a.参考坐标系绕坐标轴y0 的基本旋转b.参考坐标系绕坐标轴x0的基本旋转2.2 空间中向量的旋转旋转矩阵也可视为使某一向量绕空间中任一轴旋转给定角度的矩阵算子。设参考坐标系O-x0y0z0 与另一坐标系O-x1y1z1 原点重合则此时有Q为空间中一点在不同坐标系下的表示如下图所示点Q在不同坐标系下的表示点Q相对于参考坐标系O-x0y0z0与O-x1y1z1可分别表示为点Q相对于参考坐标系O-x0y0z0点Q相对于参考坐标系O-x1y1z1q与q均表示的是点Q则有这个公式下文会用到同时由于旋转矩阵具有正交性则上的逆变换为现将q与q1视为参考坐标系O-x0y0z0 中向量二者模值相等且可将q看作在参考坐标系中q1按照旋转矩阵R旋转后得到的。因此旋转矩阵是将向量在同一坐标下进行旋转的算子,且可用于表示两坐标系之间的相对指向这两个性质相互等价。综上一个旋转矩阵具有三个等价的几何学意义描述两个坐标系之间的相对指向。其列向量为旋转后坐标系中的轴关于原坐标系中的轴的方向余弦表示同一点在两个不同坐标系原点重合下坐标直接的变换关系将向量在同一坐标系中进行旋转的算子。2.3 旋转矩阵的合成设O-x0y0z0 、O-x1y1z1 及O-x2y2z2 为三个共原点的坐标系而Rij表示坐标系i关于坐标系j的旋转矩阵。设q为描述空间中某点Q位置的向量q、q1及q2分别为向量q在三个坐标系中的表示。则将上面三个等式联立可得由上式可知一次旋转可以由一系列的部分旋转组合而成当旋转矩阵以右乘的方式组合时表示每一个部分旋转是根据上一个旋转定义的。这个式子可看作两次部分旋转的合成即按照给定的顺序右乘旋转矩阵且第二个部分旋转相对于第一个旋转定义。同时连续旋转中的部分旋转也可以一直相对于一个固定的坐标系进行定义但是此时旋转矩阵的合成方式变为左乘即显然此处的与并不相等。在旋转合成中需要注意矩阵乘法不满足交换律由此我们可以推断通常情况下两个旋转不可交换顺序且其合成关系依赖于单个旋转的顺序。这个性质我们可以用下面两幅图来判断三、欧拉角Euler angles上一章中我们讨论了使用旋转矩阵来描述刚体的姿态但是这种方法存在两个问题旋转矩阵对于坐标系姿态的描述是冗余的无法直观地描述姿态抽象且不易于理解出现这种状况是因为旋转矩阵是正交矩阵它的9个元素之间并不是相互独立的因此我们使用旋转矩阵描述某坐标系的朝向是冗余的。特殊正交群(special orthogonal group)一类元素行列式为1的重要的典型群。正交群On(KQ)的元素的行列式都是1或-1其中行列式为1的全体正交变换组成一个子群称为特殊正交群记为SOn(KQ)刚体的旋转矩阵为特殊正交群。特殊正交群SO(m)的最简表示需要m(m-1)/2个参数。这个定义来自Siciliano B, Sciavicco L, Villani L, etal. Robotics Modelling, Planning and Control[M]. 978-1-84628-641-4. London:Springer , 2009 :4-4.因此我们选用欧拉角中的RPY角作为描述机械臂的姿态的第二种方法。将参考坐标系绕x轴、y轴、z轴所旋转的角度分别定义为φ、θ、ψ对应的基本旋转矩阵Rz(φ)、Ry(ϑ)、Rx(ψ)可由上一章节中的公式得出。坐标系的最终指向通过左乘基本旋转矩阵得出可表示为进而可得到φ、θ、ψ的角度值为四、齐次变换矩阵Homogeneous transformation matrix如下图所示空间中有坐标系O-x0y0z0 与O1-x1y1z1 Q为空间中任一点。点Q在不同坐标系下的表示其中q0为点Q相对坐标系O-x0y0z0 下称坐标系0的坐标向量o1为坐标系O1-x1y1z1 下称坐标系1原点在坐标系0中的位置表示q1为点Q相对与坐标系1的坐标向量R10为坐标系1相对于坐标系0的旋转矩阵。有如下关系上式可看作有界向量q在坐标系0与坐标系1之间由于平移与旋转所带来的坐标变换。为得到对一点在不同坐标系下的齐次表示本文首先在一般向量q上添加一单位元素构成即进而引入一(4×4)矩阵该矩阵即为齐次变换矩阵是位移与旋转的复合表示该矩阵属于特殊欧几里得群special Euclidean group。显然齐次变换矩阵不具有正交性。由此对于任一向量的一系列坐标变换可以表示为齐次变换矩阵是两坐标系之间的坐标变换的简洁表示。若两个坐标系的坐标原点相同则其次变换矩阵将退化为旋转矩阵。六自由度机械臂上位机python代码带详细注释含正逆运动学及轨迹规划等https://download.csdn.net/download/m0_53966219/87521956?spm1001.2014.3001.5503